1 公式与方法循证实践统计学
灵敏度和特异度 Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值 PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度 (a + d)/n
似然比 LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值 比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标 RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数 NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比 OR = ad/(bc)
发病率 新发病例 / 人时 方法 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。 描述统计
平均数 x̄ = Σx/n
样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数 排序后数据的中间值
z 分数 z = (x − μ)/σ
正态分布 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内 置信区间
σ 已知 x̄ ± z·σ/√n
σ 未知 x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量 n = (z·σ/E)², rounded up 方法 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。 求该置信水平下的临界值。 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。 区间：x̄ ± E。 假设检验与置信区间
均值的 z 检验 z = (x̄ − μ0 )/(σ/√n)
均值的 t 检验 t = (x̄ − μ0 )/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间 x̄ ± z·σ/√n 方法 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。 与临界值比较，或求出 p 值。 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。 2 练习题1. 循证实践统计学 中等
人 年 1 580 1 2 320 2 3 320 1.5 新发病例 74
练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项队列研究中，不同人群被随访了不同的时间长度（见表：每组的人数和随访年数）。随访期间发生了 74 例新发病例。求发病率IR ，每 1000 人年。 保留一位小数。
580 × 1 年份 320 × 2 年 320 × 1.5 年 74 新发病例
IR =
2. 循证实践统计学 困难
练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一位患者某病的检验前概率为 5%。一项灵敏度为 85%、特异度为 96% 的检测结果为正数。求该病的检验后概率p′ ，以百分数表示。 保留一位小数。
检验前 5% Se = 85% Sp = 96% 正数
p′ =
3. 描述统计 中等
25 30 35 40 45 50 55
求数据的样本标准差 s ：24, 28, 53, 56, 39, 44, 28。
n = 7
s =
4. 描述统计 困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。求成绩 62.5 的 z 分数 z 。
μ = 70 σ = 15 x = 62.5
z =
5. 置信区间 中等
x̄ E₁ = 5.3 90%, n = 100 x̄ E₂ = ? 95%, n = 100
基于 100 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 5.3。 用同样的数据计算 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
90% n₁ = 100 E₁ = 5.3 95%
E₂ =
6. 置信区间 困难
n = 16 L σ = ? s = 8.9 95%
16 根机加工轴的直径样本标准差为 8.9 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ 。df = 15 时，χ² 分布有 2.5% 位于 6.262 以下，2.5% 位于 27.488 以上。
n = 16 s = 8.9 µm χ² = 6.262, 27.488
σ =
7. 假设检验与置信区间 中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：50 个零件的样本平均长度为 84.5 mm，该生产线的已知标准差为 4 mm。生产线 2：40 个零件的样本均值为 88 mm，已知标准差为 18 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z 。
n₁ = 50 x̄₁ = 84.5 mm σ₁ = 4 mm n₂ = 40 x̄₂ = 88 mm σ₂ = 18 mm
z =
8. 假设检验与置信区间 困难
16 次测量的样本均值为 197.9。总体标准差为 5。求均值 95% 置信区间的上限 U 。
x̄ = 197.9 σ = 5 n = 16 95%
U =
3 溶液1. 循证实践统计学
答案: IR = 43.5 每 1000 人年
似然比和风险指标： LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。
人年 PY = 580·1 + 320·2 + 320·1.5 = 1700
发病率 IR = 74/1700·1000 = 43.5 每 1000 人年
2. 循证实践统计学
答案: p′ = 52.8 %
预测值取决于患病率： PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。
似然比 LR+ = 0.85/(1 − 0.96) = 21.25
检验前比值 0.05/(1 − 0.05) = 0.05263
检验后概率 p′ = 1.118/(1 + 1.118) = 0.528 ≈ 52.8%
3. 描述统计
答案: s = 12.76
描述统计： 平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
离差平方 Σ(x − x̄)² = (−14.86)² + (−10.86)² + 14.14² + 17.14² + 0.1429² + 5.143² + (−10.86)² = 976.9
4. 描述统计
答案: z = −0.5
描述统计： 平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化 z = (62.5 − 70)/15 = −0.5
5. 置信区间
答案: E₂ = 6.315
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比 E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(100/100) = 1.191
6. 置信区间
答案: σ = 13.77 µm
方差的区间： (n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和 (n − 1)s² = 15·8.9² = 1188
σ² 的限值 1188/27.488 = 43.22
1188/6.262 = 189.7
σ 的 95% 区间：[6.575, 13.77] µm。
7. 假设检验与置信区间
答案: z = −1.206
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误 SE = √(4²/50 + 18²/40) = √8.42 = 2.902
检验统计量 z = (84.5 − 88)/2.902 = −1.206
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
8. 假设检验与置信区间
答案: U = 200.3
均值检验： 检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。