循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
病例对照暴露1130ab未暴露109120cd

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项病例对照研究比较了 120 名患某病的患者（病例）和 150 名未患该病的人（对照）。表中显示每组有多少人暴露于某危险因素。求该暴露的比值比OR。 保留两位小数。

a = 11b = 30c = 109d = 120
OR =
2.循证实践统计学困难
检测有疾病无疾病总数正数?负数总数10 000

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 用灵敏度为 74%、特异度为 99% 的检测对 10 000 人进行筛查。该病的患病率为 15%。 预期会有多少真阳性结果TP？

N = 10 000p = 15%Se = 74%Sp = 99%
TP =
3.描述统计中等
1520253035404550

求数据的样本标准差 s：12, 28, 17, 54, 43, 17。

n = 6
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 12。求成绩 82 的 z 分数 z。

μ = 70σ = 12x = 82
z =
5.置信区间中等
x̄E₁ = 8.895%, n = 64x̄E₂ = ?95%, n = 256

基于 64 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 8.8。 如果同一研究改用 256 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？

95%n₁ = 64E₁ = 8.8n₂ = 256
E₂ =
6.置信区间困难
p = 0.5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0199%

事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.01？

p = 0.5E = 0.0199%
n =
7.假设检验与置信区间中等
−1.961.96z = ?

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：100 个零件的样本平均长度为 101 mm，该生产线的已知标准差为 6 mm。生产线 2：60 个零件的样本均值为 103.1 mm，已知标准差为 4 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 100x̄₁ = 101 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 60x̄₂ = 103.1 mmσ₂ = 4 mm
z =
8.假设检验与置信区间困难
−1.961.96z = ?

在一项试验中，接受治疗 A 的 80 名患者中有 48 人康复，接受治疗 B 的 250 名患者中有 185 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 48n₁ = 80x₂ = 185n₂ = 250
z =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: OR = 0.4

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

暴露比值

病例: 11/109 = 0.1009
对照: 30/120 = 0.25

比值比

OR = (11·120)/(30·109) = 0.4037 ≈ 0.4

答案

OR = 0.4

OR 小于 1：暴露在病例中较少见，提示有保护作用。

2.循证实践统计学

答案: TP = 1110

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

患病者和未患病者

10 000·0.15 = 1500
10 000 − 1500 = 8500

真阳性

TP = 1500·0.74 = 1110

答案

TP = 1110
3.描述统计

答案: s = 16.72

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 171/6 = 28.5

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−16.5)² + (−0.5)² + (−11.5)² + 25.5² + 14.5² + (−11.5)² = 1398

标准差

s = √(1398/5) = 16.72

答案

s = 16.72
4.描述统计

答案: z = 1

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = (82 − 70)/12 = 1

答案

z = 1
5.置信区间

答案: E₂ = 4.4

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(64/256) = 0.5

新的误差范围

E₂ = 8.8·0.5 = 4.4

答案

E₂ = 4.4
6.置信区间

答案: n = 16590

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 2.576²·0.5·0.5/0.01² = 16589

向上取整

n = 16590

答案

n = 16590
7.假设检验与置信区间

答案: z = −2.653

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(6²/100 + 4²/60) = √0.6267 = 0.7916

检验统计量

z = (101 − 103.1)/0.7916 = −2.653

答案

z = −2.653

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

8.假设检验与置信区间

答案: z = −2.392

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 48/80 = 0.6
p̂₂ = 185/250 = 0.74
p̂ = 233/330 = 0.7061

H₀ 下的标准误

SE = √(0.7061·0.2939·(1/80 + 1/250)) = 0.05852

检验统计量

z = (0.6 − 0.74)/0.05852 = −2.392

答案

z = −2.392

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

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