1公式与方法
循证实践统计学
- 灵敏度和特异度
- Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
- 预测值
- PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
- 准确度
- (a + d)/n
- 似然比
- LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
- 患病率为 p 时的 PPV
- Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
- 比值
- 比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
- 风险指标
- RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
- 需要治疗人数
- NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
- 比值比
- OR = ad/(bc)
- 发病率
- 新发病例 / 人时
方法
- 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
- 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
- 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
- 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
- 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。
描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
2练习题
1.循证实践统计学中等
练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项随机试验中，810 名患者接受新疗法，100 名接受对照治疗。表中显示每组有多少人出现了副作用。 求治疗时发生该事件的相对危险度RR。 保留两位小数。
治疗: 116/810对照: 11/100
RR =
2.循证实践统计学困难
练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 用灵敏度为 81%、特异度为 96% 的检测对 10 000 人进行筛查。该病的患病率为 14%。 有多少患病者被这项检测漏掉了（假阴性，FN）？
N = 10 000p = 14%Se = 81%Sp = 96%
FN =
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：17, 49, 13, 37, 28, 52, 37。
n = 7
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 8。求成绩 178 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 8x = 178
z =
5.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：50 部手机，均值 51 h，已知标准差 13 h。型号 2：80 部手机，均值 53 h，已知标准差 9 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 50x̄₁ = 51 hσ₁ = 13 hn₂ = 80x̄₂ = 53 hσ₂ = 9 h95%
E = h
6.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：6 块地，平均产量 28.5 kg，标准差 5 kg。地块组 2：10 块地，均值 38.5 kg，标准差 3 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 6x̄₁ = 28.5s₁ = 5n₂ = 10x̄₂ = 38.5s₂ = 395%t(14) = 2.145
E = kg
7.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：30 个零件的样本平均长度为 66.5 mm，该生产线的已知标准差为 16 mm。生产线 2：50 个零件的样本均值为 55.4 mm，已知标准差为 19 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 30x̄₁ = 66.5 mmσ₁ = 16 mmn₂ = 50x̄₂ = 55.4 mmσ₂ = 19 mm
z =
8.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？标准差为 15。求最小样本量 n。
σ = 15E = 0.595%
n =
3溶液
1.循证实践统计学
答案: RR = 1.3
似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。
事件发生率
EER = 116/810 = 0.1432
CER = 11/100 = 0.11
相对危险度
RR = 0.1432/0.11 = 1.302 ≈ 1.3
2.循证实践统计学
答案: FN = 266
预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。
患病者和未患病者
10 000·0.14 = 1400
10 000 − 1400 = 8600
3.描述统计
答案: s = 14.89
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−16.29)² + 15.71² + (−20.29)² + 3.714² + (−5.286)² + 18.71² + 3.714² = 1329
4.描述统计
答案: z = 1
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
5.置信区间
答案: E = 4.108 h
差值的区间：估计值 ± 临界值 × 标准误。对 σ 已知的两个独立均值：SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)，用 z。方差相等但未知时：用合并的 s_p 和自由度为 n₁ + n₂ − 2 的 t。对配对数据，用差值计算：d̄ ± t·s_d/√n。
标准误
SE = √(13²/50 + 9²/80) = 2.096
6.置信区间
答案: E = 4.249 kg
差值的区间：估计值 ± 临界值 × 标准误。对 σ 已知的两个独立均值：SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)，用 z。方差相等但未知时：用合并的 s_p 和自由度为 n₁ + n₂ − 2 的 t。对配对数据，用差值计算：d̄ ± t·s_d/√n。
合并标准差
sp² = (5·5² + 9·3²)/14 = 14.71
sp = 3.836
误差范围
E = 2.145·3.836·√(1/6 + 1/10) = 4.249
7.假设检验与置信区间
答案: z = 2.797
假设检验：检验统计量 =（估计值 − H₀ 下的值）/（H₀ 下的标准误）。p 值是在假定 H₀ 为真时，统计量至少与观测值一样极端的概率：单侧 H₁ 取一个尾部的面积，双侧 H₁ 取尾部面积的两倍。当 p ≤ α 时拒绝 H₀。
差值的标准误
SE = √(16²/30 + 19²/50) = √15.75 = 3.969
检验统计量
z = (66.5 − 55.4)/3.969 = 2.797
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
8.假设检验与置信区间
答案: n = 3458
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.96·15/0.5)² = 3457