循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
人年133052902.535104新发病例88

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项队列研究中，不同人群被随访了不同的时间长度（见表：每组的人数和随访年数）。随访期间发生了 88 例新发病例。求发病率IR，每 1000 人年。 保留一位小数。

330 × 5 年90 × 2.5 年510 × 4 年88 新发病例
IR = 每 1000 人年
2.循证实践统计学困难
p (%)PPV (%)2%PPV = ?100

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项筛查检测的灵敏度为 95%，特异度为 85%。它用于患病率为 2% 的人群。 求阳性预测值PPV，以百分数表示。 保留一位小数。

Se = 95%Sp = 85%p = 2%
PPV = %
3.描述统计中等
152025303540455055

求数据的样本标准差 s：48, 13, 55, 59, 17, 46, 44。

n = 7
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 20。数值低于 46 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 20x = 46
P =
5.置信区间中等
n = 7, s = 4.5LU = ?x̄ = 34.5E95%

一个包含 7 个个体的样本，均值为 34.5，标准差 s = 4.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的上限。

n = 7x̄ = 34.5s = 4.595%t(6) = 2.447
上限 =
6.置信区间困难
μ₁ − μ₂, t(20) = 1.7250LUx̄₁ − x̄₂E = ?90%

对两种肥料进行试验。地块组 1：10 块地，平均产量 67 kg，标准差 5.5 kg。地块组 2：12 块地，均值 55.5 kg，标准差 5.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 10x̄₁ = 67s₁ = 5.5n₂ = 12x̄₂ = 55.5s₂ = 5.590%t(20) = 1.725
E = kg
7.假设检验与置信区间中等
2p = ?

据称某总体的均值为 50；已知总体标准差为 36。一个含 144 个观测值的随机样本均值为 56。检验 H₀: μ = 50 对 H₁: μ > 50。求 p 值 p。

μ₀ = 50σ = 36n = 144x̄ = 56H₁: μ > μ₀
p =
8.假设检验与置信区间困难
z −1.9601.96

100 次测量的样本均值为 116。总体标准差为 15。求均值 95% 置信区间的上限 U。

x̄ = 116σ = 15n = 10095%
U =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: IR = 22.5 每 1000 人年

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

人年

PY = 330·5 + 90·2.5 + 510·4 = 3915

发病率

IR = 88/3915·1000 = 22.5 每 1000 人年

答案

IR = 22.5 每 1000 人年
2.循证实践统计学

答案: PPV = 11.4 %

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

真阳性和假阳性（按每人计）

Se·p = 0.95·0.02 = 0.019
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.15·0.98 = 0.147

阳性预测值

PPV = 0.019/(0.019 + 0.147) = 0.1145 ≈ 11.4%

答案

PPV = 11.4%

患病率越低，同一检测的 PPV 越低。

3.描述统计

答案: s = 18.07

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 282/7 = 40.29

离差平方

Σ(x − x̄)² = 7.714² + (−27.29)² + 14.71² + 18.71² + (−23.29)² + 5.714² + 3.714² = 1959

标准差

s = √(1959/6) = 18.07

答案

s = 18.07
4.描述统计

答案: P = 0.1151

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = −1.2

标准正态分布表

Φ(−1.2) = 0.1151
P = 0.1151

答案

P = 0.1151
5.置信区间

答案: 上限 = 38.66

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 6, t = 2.447

误差范围

E = 2.447·4.5/√7 = 4.162

区间

34.5 ± 4.162 → [30.34, 38.66]

答案

上限 = 38.66
6.置信区间

答案: E = 4.062 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

sp² = (9·5.5² + 11·5.5²)/20 = 30.25
sp = 5.5

误差范围

E = 1.725·5.5·√(1/10 + 1/12) = 4.062

答案

E = 4.062 kg
7.假设检验与置信区间

答案: p = 0.02275

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 36/√144 = 3
z = (56 − 50)/3 = 2

尾部面积

Φ(2) = 0.9772
1 − Φ(2) = 0.0228

p 值

p = 0.02275

答案

p = 0.02275

p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。

8.假设检验与置信区间

答案: U = 118.9

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.96·15/√100 = 2.94

区间端点

U = 116 + 2.94 = 118.9

答案

U = 118.9

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