循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
事件无事件总数治疗7193200ab对照27353380cd

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项随机试验中，200 名患者接受新疗法，380 名接受对照治疗。表中显示每组有多少人出现了结局（如卒中等不良事件）。 求预防一次事件所需的治疗人数NNT。 向上取整到整数患者。

治疗: 7/200对照: 27/380
NNT =
2.循证实践统计学困难
CER20%EER?RRR 42%

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一种治疗使事件风险相对降低 42%（RRR = 42%）。在某患者群体中，不治疗时五年内的风险（CER）为 20%。求五年内预防一次事件所需的治疗人数NNT。 向上取整到整数患者。

RRR = 42%CER = 20%
NNT =
3.描述统计中等
1520253035404550

求数据的样本标准差 s：31, 23, 38, 51, 15, 47。

n = 6
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 5。求成绩 57.5 的 z 分数 z。

μ = 60σ = 5x = 57.5
z =
5.置信区间中等
n = 8, sd​ = 0.60LU = ?d̄ = 5.5E90%

测量 8 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 5.5，标准差为 0.6。 求平均差值的 90% 置信区间的上限。

n = 8d̄ = 5.5sd = 0.690%t(7) = 1.895
上限 = mmHg
6.置信区间困难
σ = 27, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 499%

总体标准差为 27。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 4？

σ = 27E = 499%
n =
7.假设检验与置信区间中等
t −2.0302.03

36 名学生的样本平均分为 73.8，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。

μ₀ = 75x̄ = 73.8s = 4n = 36
t =
8.假设检验与置信区间困难
−1.961.96z = ?

在一项试验中，接受治疗 A 的 120 名患者中有 60 人康复，接受治疗 B 的 200 名患者中有 112 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 60n₁ = 120x₂ = 112n₂ = 200
z =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: NNT = 28

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

事件发生率

EER = 7/200 = 0.035
CER = 27/380 = 0.07105

需要治疗人数

ARR = 0.07105 − 0.035 = 0.03605
NNT = 1/0.03605 = 27.74 → 28

答案

NNT = 28

治疗 28 名患者约可预防一次事件。

2.循证实践统计学

答案: NNT = 12

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

绝对风险降低

ARR = 0.2·0.42 = 0.084

需要治疗人数

NNT = 1/0.084 = 11.9 → 12

答案

NNT = 12

相同的相对效果，在基线风险越高时，NNT 越小。

3.描述统计

答案: s = 13.89

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 205/6 = 34.17

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−3.167)² + (−11.17)² + 3.833² + 16.83² + (−19.17)² + 12.83² = 964.8

标准差

s = √(964.8/5) = 13.89

答案

s = 13.89
4.描述统计

答案: z = −0.5

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = (57.5 − 60)/5 = −0.5

答案

z = −0.5
5.置信区间

答案: 上限 = 5.902 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 7, t = 1.895

误差范围

E = 1.895·0.6/√8 = 0.402

区间

5.5 ± 0.402 → [5.098, 5.902]

答案

上限 = 5.902 mmHg
6.置信区间

答案: n = 303

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (2.576·27/4)² = 302.3

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 303

答案

n = 303
7.假设检验与置信区间

答案: t = −1.8

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 4/√36 = 4/6 = 0.6667

检验统计量

t = (73.8 − 75)/0.6667 = −1.8

答案

t = −1.8
t0.025; df = 35 = 2.03

|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

8.假设检验与置信区间

答案: z = −1.042

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 60/120 = 0.5
p̂₂ = 112/200 = 0.56
p̂ = 172/320 = 0.5375

H₀ 下的标准误

SE = √(0.5375·0.4625·(1/120 + 1/200)) = 0.05757

检验统计量

z = (0.5 − 0.56)/0.05757 = −1.042

答案

z = −1.042

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

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