循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
事件无事件总数治疗5258110ab对照182778960cd

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项随机试验中，110 名患者接受新疗法，960 名接受对照治疗。表中显示每组有多少人出现了副作用。 求需要伤害人数NNH：需要治疗多少名患者，才会多出一名患者发生该副作用？ 向上取整到整数患者。

治疗: 52/110对照: 182/960
NNH =
2.循证实践统计学困难
检验前20%检验后?p′LR−

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一位患者某病的检验前概率为 20%。一项灵敏度为 62%、特异度为 91% 的检测结果为负数。求该病的检验后概率p′，以百分数表示。 保留一位小数。

检验前 20%Se = 62%Sp = 91%负数
p′ = %
3.描述统计中等
202530354045505560

求数据的样本标准差 s：53, 32, 60, 29, 26, 19, 56。

n = 7
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 10。求成绩 155 的 z 分数 z。

μ = 170σ = 10x = 155
z =
5.置信区间中等
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E99%

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：30 部手机，均值 109 h，已知标准差 16 h。型号 2：30 部手机，均值 107.5 h，已知标准差 8 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的下限。

n₁ = 30x̄₁ = 109 hσ₁ = 16 hn₂ = 30x̄₂ = 107.5 hσ₂ = 8 h99%
下限 = h
6.置信区间困难
σ = 40, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1.599%

总体标准差为 40。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1.5？

σ = 40E = 1.599%
n =
7.假设检验与置信区间中等
−2.1312.131t = ?df = 15

16 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 5.5，差值的标准差为 5.5。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。

n = 16d̄ = 5.5sd = 5.5
t =
8.假设检验与置信区间困难
μ₀x̄c

在 α = 0.10 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 50 与 H₁: μ > 50 进行单侧 z 检验；已知标准差为 5。实际上均值为 51.8。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 50μ = 51.8σ = 5n = 25α = 0.10
1 − β = %

3溶液

1.循证实践统计学

答案: NNH = 4

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

事件发生率

EER = 52/110 = 0.4727
CER = 182/960 = 0.1896

需要伤害人数

ARI = 0.4727 − 0.1896 = 0.2831
NNH = 1/0.2831 = 3.532 → 4

答案

NNH = 4

每治疗约 4 名患者，就有一名患者因治疗而出现该副作用。

2.循证实践统计学

答案: p′ = 9.5 %

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

似然比

LR− = (1 − 0.62)/0.91 = 0.4176

检验前比值

0.2/(1 − 0.2) = 0.25

检验后比值

0.25·0.4176 = 0.1044

检验后概率

p′ = 0.1044/(1 + 0.1044) = 0.09453 ≈ 9.5%

答案

p′ = 9.5%
3.描述统计

答案: s = 16.55

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 275/7 = 39.29

离差平方

Σ(x − x̄)² = 13.71² + (−7.286)² + 20.71² + (−10.29)² + (−13.29)² + (−20.29)² + 16.71² = 1643

标准差

s = √(1643/6) = 16.55

答案

s = 16.55
4.描述统计

答案: z = −1.5

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = (155 − 170)/10 = −1.5

答案

z = −1.5
5.置信区间

答案: 下限 = −6.913 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 109 − 107.5 = 1.5

标准误

SE = √(16²/30 + 8²/30) = 3.266

误差范围

E = 2.576·3.266 = 8.413

区间

1.5 ± 8.413 → [−6.913, 9.913]

答案

下限 = −6.913 h

区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。

6.置信区间

答案: n = 4719

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (2.576·40/1.5)² = 4719

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 4719

答案

n = 4719
7.假设检验与置信区间

答案: t = 4

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 5.5/√16 = 1.375

检验统计量

t = 5.5/1.375 = 4

答案

t = 4

df = 15 时，双侧 5% 的临界值为 2.131；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

8.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 69.78 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 5/√25 = 1
x̄c = 50 + 1.282·1 = 51.28

真实均值下的 z

z = (51.28 − 51.8)/1 = −0.518

功率

功效 = P(Z > −0.518) = 69.78%
1 − β = 69.78%

答案

1 − β = 69.78%

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