循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
Se62%Sp84%LR− = ?

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项检测的灵敏度为 62%，特异度为 84%。 求阴性似然比LR−。 保留两位小数。

Se = 62%Sp = 84%
LR− =
2.循证实践统计学困难
p (%)PPV (%)5%PPV = ?100

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项筛查检测的灵敏度为 88%，特异度为 93%。它用于患病率为 5% 的人群。 求阳性预测值PPV，以百分数表示。 保留一位小数。

Se = 88%Sp = 93%p = 5%
PPV = %
3.描述统计中等
1015202530354045505560

求数据的样本标准差 s：10, 21, 12, 60, 39, 43, 33。

n = 7
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。求成绩 56.25 的 z 分数 z。

μ = 50σ = 5x = 56.25
z =
5.置信区间中等
n = 21, s = 19LUx̄ = 56E = ?95%

一个包含 21 个个体的样本，均值为 56，标准差 s = 19。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。

n = 21x̄ = 56s = 1995%t(20) = 2.086
E =
6.置信区间困难
σ = 34, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.595%

总体标准差为 34。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2.5？

σ = 34E = 2.595%
n =
7.假设检验与置信区间中等
−2.1792.179t = ?df = 12

比较两种教学方法。第 1 组：6 名学生，平均分 62，标准差 5。第 2 组：8 名学生，平均分 76.9，标准差 10.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 6x̄₁ = 62s₁ = 5n₂ = 8x̄₂ = 76.9s₂ = 10.5
t =
8.假设检验与置信区间困难
z −2.57602.576

49 次测量的样本均值为 72.6。总体标准差为 15。求均值 99% 置信区间的下限 L。

x̄ = 72.6σ = 15n = 4999%
L =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: LR− = 0.45

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

阴性似然比

LR− = (1 − 0.62)/0.84 = 0.4524 ≈ 0.45

答案

LR− = 0.45
2.循证实践统计学

答案: PPV = 39.8 %

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

真阳性和假阳性（按每人计）

Se·p = 0.88·0.05 = 0.044
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.07·0.95 = 0.0665

阳性预测值

PPV = 0.044/(0.044 + 0.0665) = 0.3982 ≈ 39.8%

答案

PPV = 39.8%

患病率越低，同一检测的 PPV 越低。

3.描述统计

答案: s = 18.05

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 218/7 = 31.14

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−21.14)² + (−10.14)² + (−19.14)² + 28.86² + 7.857² + 11.86² + 1.857² = 1955

标准差

s = √(1955/6) = 18.05

答案

s = 18.05
4.描述统计

答案: z = 1.25

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = (56.25 − 50)/5 = 1.25

答案

z = 1.25
5.置信区间

答案: E = 8.649

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 20, t = 2.086

误差范围

E = 2.086·19/√21 = 8.649

答案

E = 8.649
6.置信区间

答案: n = 711

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·34/2.5)² = 710.5

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 711

答案

n = 711
7.假设检验与置信区间

答案: t = −3.192

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

sp² = (5·5² + 7·10.5²)/12 = 74.73
sp = 8.645

标准误

SE = 8.645·√(1/6 + 1/8) = 4.669

检验统计量

t = (62 − 76.9)/4.669 = −3.192

答案

t = −3.192

df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

8.假设检验与置信区间

答案: L = 67.08

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 2.576·15/√49 = 5.52

区间端点

L = 72.6 − 5.52 = 67.08

答案

L = 67.08

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