循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
事件无事件总数治疗48172220ab对照205555760cd

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项随机试验中，220 名患者接受新疗法，760 名接受对照治疗。表中显示每组有多少人出现了结局（如卒中等不良事件）。 求预防一次事件所需的治疗人数NNT。 向上取整到整数患者。

治疗: 48/220对照: 205/760
NNT =
2.循证实践统计学困难
对照39%治疗?

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 不用某种药物时，39% 的患者在一年内出现某种副作用。该药使此风险升高，相对危险度 RR = 1.22。求需要伤害人数NNH：需要多少患者服药一年，才会多出一名患者发生该副作用？ 向上取整到整数患者。

对照 39%RR = 1.22
NNH =
3.描述统计中等
202530354045505560

求数据的样本标准差 s：60, 54, 32, 17, 39, 41。

n = 6
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。数值高于 550 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 40x = 550
P =
5.置信区间中等
x̄E₁ = 4.895%, n = 25x̄E₂ = ?99%, n = 100

基于 25 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 4.8。 基于 100 个观测值的 99% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

95%n₁ = 25E₁ = 4.899%n₂ = 100
E₂ =
6.置信区间困难
n = 25σ = ?Us = 1.195%

25 根机加工轴的直径样本标准差为 1.1 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 24 时，χ² 分布有 2.5% 位于 12.401 以下，2.5% 位于 39.364 以上。

n = 25s = 1.1 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
7.假设检验与置信区间中等
−2.1792.179t = ?df = 12

比较两种教学方法。第 1 组：6 名学生，平均分 26，标准差 8.5。第 2 组：8 名学生，平均分 15.6，标准差 2.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 6x̄₁ = 26s₁ = 8.5n₂ = 8x̄₂ = 15.6s₂ = 2.5
t =
8.假设检验与置信区间困难
σ = 4, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 295%

样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？标准差为 4。求最小样本量 n。

σ = 4E = 295%
n =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: NNT = 20

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

事件发生率

EER = 48/220 = 0.2182
CER = 205/760 = 0.2697

需要治疗人数

ARR = 0.2697 − 0.2182 = 0.05156
NNT = 1/0.05156 = 19.4 → 20

答案

NNT = 20

治疗 20 名患者约可预防一次事件。

2.循证实践统计学

答案: NNH = 12

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

用药时的风险

0.39·1.22 = 0.4758

绝对风险增加

ARI = 0.4758 − 0.39 = 0.0858

需要伤害人数

NNH = 1/0.0858 = 11.66 → 12

答案

NNH = 12
3.描述统计

答案: s = 15.42

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 243/6 = 40.5

离差平方

Σ(x − x̄)² = 19.5² + 13.5² + (−8.5)² + (−23.5)² + (−1.5)² + 0.5² = 1190

标准差

s = √(1190/5) = 15.42

答案

s = 15.42
4.描述统计

答案: P = 0.1056

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = 1.25

标准正态分布表

Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056

答案

P = 0.1056
5.置信区间

答案: E₂ = 3.154

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (2.576/1.96)·√(25/100) = 0.6571

新的误差范围

E₂ = 4.8·0.6571 = 3.154

答案

E₂ = 3.154
6.置信区间

答案: σ = 0.8589 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 24·1.1² = 29.04

σ² 的限值

29.04/39.364 = 0.7377
29.04/12.401 = 2.342

σ 的限值

σ = √0.7377 = 0.8589 µm

答案

σ = 0.8589 µm

σ 的 95% 区间：[0.8589, 1.53] µm。

7.假设检验与置信区间

答案: t = 3.315

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

sp² = (5·8.5² + 7·2.5²)/12 = 33.75
sp = 5.809

标准误

SE = 5.809·√(1/6 + 1/8) = 3.137

检验统计量

t = (26 − 15.6)/3.137 = 3.315

答案

t = 3.315

df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

8.假设检验与置信区间

答案: n = 16

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (1.96·4/2)² = 15.37

向上取整

n = 16

答案

n = 16

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