FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 6 mP₁ = 50 kN 位于 2.5 mP₂ = 20 kN 位于 5 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 5 mP = 50 kN 位于 3.5 mw = 8 kN/m，从 1 到 2 m

R_A = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓D: 25 kN ↓G: 15 kN ↓H: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 35 kN ↓D: 40 kN ↓G: 20 kN ↓H: 35 kN ↓H: 20 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

5.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 1.5 m 处承受集中荷载 P。求在固定端 A 处的弯矩 M_A。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 2 mP = 75 kN 位于 1.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 2 m

M_A = kN·m

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 25 kN 位于 1.5 mw = 6 kN/m，从 0 到 4 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.梁的挠度困难

简支梁在三分点处（距每个支座 L/3）承受两个相等的集中荷载 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 7 kNL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

圆管外径 D = 120 mm，内径 d = 104 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

D = 120 mmd = 104 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

一块 200 mm × 200 mm 的板有一个宽 40 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 140 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 200 mm切口: 40 × 20 mm孔心: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 5 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 9 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³黏土: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 3 m 的超固结黏土，C_c = 0.45，C_r = 0.05，e₀ = 0.65。其中点深度处的竖向有效应力为 110 kPa ，先期固结压力为 210 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 65 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 3 mC_c = 0.45C_r = 0.05e₀ = 0.65σ′₀ = 110 kPaσ′_p = 210 kPaΔσ = 65 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

在室内固结仪试验中，一个厚 20 mm、上下两面排水的黏土试样在 8 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 8 m 的土层。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

h_lab = 20 mmt_lab = 8 minH = 8 m现场：单面排水

t = 天

17.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.7 m/s 的速度流过一根长 400 m、内径 300 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.7 m/sL = 400 mD = 300 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

一根长 400 m、内径 200 mm（达西摩擦系数 f = 0.015）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 50 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 50 L/sL = 400 mD = 200 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 2

H = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形砖砌渠道底宽 3 m，边坡 1.5:1（水平:竖直）。水以 2.3 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.015，底坡 S = 0.001。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 3 my = 2.3 mz = 1.5n = 0.015S = 0.001

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 375 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.6 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 375 mmn = 0.013V = 0.6 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台效率为 80% 的水泵以 64 m 的扬程输送 150 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 150 L/sH = 64 mη = 80%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 5 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 4（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 70%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 100 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 4η = 70%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €20 000 的净租金。租金预计每年永久增长 1%。要求回报率为每年 3%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €20 000g = 1%r = 3%

PV = €

26.货币的时间价值困难

一笔 €250 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 6%，按月复利。在第 2 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €250 0006% / 12N = 360k = 24

B = €

27.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€25 000, €36 000, €32 000, €32 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −75 000CF₁ = 25 000CF₂ = 36 000CF₃ = 32 000CF₄ = 32 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €11 500, €12 000, €10 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 11 500CF₂ = 12 000CF₃ = 10 000

IRR = %

29.正态分布中等

X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 95.4 s 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 95.4 s

P =

30.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 95%

x = 分

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 37.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·2.5 + 20·5

R_B = 225/6 = 37.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 37.5 = 32.5 kN

答案

R_B = 37.5 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 20.6 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN，作用于 x̄ = 1.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·3.5 + 8·1·1.5

R_B = 187/5 = 37.4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 37.4 = 20.6 kN

答案

R_A = 20.6 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 37.5 kN (T), BC: 50 kN (T), CD: 50 kN (T), DE: 47.5 kN (T), FG: 37.5 kN (C), GH: 47.5 kN (C), AF: 53.03 kN (C), HE: 67.18 kN (C), BF: 37.5 kN (T), CG: 0, DH: 27.5 kN (T), BG: 17.68 kN (C), DG: 3.536 kN (C)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 40 kN (T), BC: 65 kN (T), CD: 65 kN (T), DE: 70 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 90 kN (C), AF: 84.85 kN (C), HE: 98.99 kN (C), BF: 60 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), BG: 35.36 kN (C), DG: 7.071 kN (T)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: M_A = −116.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −75·1.5 = −112.5 kN·m

w: −2·2²/2 = −4 kN·m

M_A = −112.5 − 4 = −116.5 kN·m

答案

M_A = −116.5 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 34.69 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·1.5 + 6·4·2

R_B = 85.5/4 = 21.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 49 − 21.38 = 27.63 kN

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 27.63·1.5 − 6·1.5·0.75 = 34.69 kN·m

答案

M_x = 34.69 kN·m

7.梁的挠度

答案: θ_A = 0.004253 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 8·2000³/(24·6.27 × 10¹¹) = 0.004253 rad

答案

θ_A = 0.004253 rad

即 0.2437°。

8.梁的挠度

答案: δ_max = 6.31 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 7000 N, L = 4000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

一个荷载位于 L/3 处

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm

δ₁ = 3.155 mm

两个荷载相加

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 6.31 mm

答案

δ_max = 6.31 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 109.9 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

计算长度

KL = 1·2000 = 2000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109.9 kN

答案

P_cr = 109.9 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 17.27 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/15 = 200

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa

答案

σ_cr = 17.27 MPa

11.形心和惯性矩

答案: r = 39.7 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

A = π(D² − d²)/4 = 2815 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 4.436 × 10⁶ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(4.436 × 10⁶/2815) = 39.7 mm

答案

r = 39.7 mm

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 132 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (40000·100 − 800·140)/(40000 − 800) = 99.18 mm

完整的板关于 ȳ

200·200³/12 + 40000·0.8163² = 133.4 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

40·20³/12 + 800·40.82² = 1.359 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 132 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 132 × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力

答案: σ′ = 67.88 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15.5·3 + 20.5·2 = 87.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·2 = 19.62 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 87.5 − 19.62 = 67.88 kPa

答案

σ′ = 67.88 kPa

14.土中有效应力

答案: σ = 153 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3

σ = 15.5·4 + 18.5·2 + 18·3 = 153 kPa

答案

σ = 153 kPa

15.固结沉降

答案: S = 18.33 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 110 + 65 = 175 kPa ≤ 210 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.05·3/(1 + 0.65)·log₁₀(175/110) = 18.33 mm

答案

S = 18.33 mm

16.固结沉降

答案: t = 3556 天

排水路径

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0.01 m

H_dr,field = 8 m

换算时间

t = T_v·H_dr²/c_v，室内和现场的 T_v 和 c_v 相同。

t_field = 8·(8/0.01)² = 5.12 × 10⁶ min

t_field = 5.12 × 10⁶/1440 = 3556 天

答案

t = 3556 天

17.静水压力

答案: F = 42.92 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·2.5 = 42.92 kN

答案

F = 42.92 kN

18.静水压力

答案: F = 120.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3·4 = 120.7 kN

答案

F = 120.7 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 106.9 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(400/0.3)·2.7²/(2·9.81) = 10.9 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·10.9 = 106920 Pa = 106.9 kPa

答案

Δp = 106.9 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: H = 4.48 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s

V²/(2g) = 0.1291 m

损失系数

f·L/D = 0.015·400/0.2 = 30

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 = 3.7

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 30 + 3.7)·0.1291 = 4.48 m

答案

H = 4.48 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 37.51 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3 + 1.5·2.3)·2.3 = 14.83 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2.3·√(1 + 1.5²) = 11.29 m

R = A/P = 1.314 m

速度

V = (1/0.015)·1.314^2/3·0.001^1/2 = 2.529 m/s

流量

Q = A·V = 14.83·2.529 = 37.51 m³/s

答案

Q = 37.51 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.001429 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.375/4 = 0.09375 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.6/0.2064)² = 0.001429

答案

S = 0.001429

即每千米下降 1.429 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 117.7 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·64 = 94.18 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 94.18/0.8 = 117.7 kW

答案

P_shaft = 117.7 kW

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 13.53 kW

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

V²/(2g) = 0.2115 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 4)·0.2115 = 4.654 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 5 + 4.654 = 9.654 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.1·9.654/0.7 = 13.53 kW

答案

P_shaft = 13.53 kW

25.货币的时间价值

答案: PV = 1 × 10⁶ €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0.03 − 0.01) = 20 000/0.02 = €1 000 000.00

答案

PV = €1 000 000.00

26.货币的时间价值

答案: B = 243671 €

月供

i = 0.005, N = 360

A = 250 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)⁻³⁶⁰) = €1 498.88

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 360 − 24 = 336

B = 1499·(1 − (1 + 0.005)⁻³³⁶)/0.005 = €243 670.59

答案

B = €243 670.59

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 19134 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 25 000/1.12 = 22 321.43

CF₂/(1 + 0.12)² = 36 000/1.254 = 28 698.98

CF₃/(1 + 0.12)³ = 32 000/1.405 = 22 776.97

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 32 000/1.574 = 20 336.58

相加

NPV = €19 133.95

答案

NPV = €19 133.95

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 16.59 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 648.89

NPV(20%) = −1 296.30

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·648.89/(648.89 − (−1 296.30)) = 16.67%

精确: NPV(16.59%) = 0 → IRR = 16.59%

答案

IRR = 16.59%

29.正态分布

答案: P = 0.9332

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

标准化

z = (95.4 − 105)/6.403 = −1.5

上尾

P = 1 − Φ(−1.5) = 1 − 0.06681 = 0.9332

答案

P = 0.9332

30.正态分布

答案: x = 124.7 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

换算回 x

x = 100 + 1.645·15 = 124.67 分

答案

x = 124.67 分

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