FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 4 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 4 mAC = 6 mP₁ = 30 kN 位于 0.5 mP₂ = 20 kN 位于 6 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 6 mP = 60 kN 位于 2.5 mw = 6 kN/m，从 2 到 5 m

R_B = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 20 kN ↓D: 25 kN ↓F: 15 kN ↓G: 40 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 10 kN ↓C: 15 kN ↓D: 25 kN ↓H: 20 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

5.剪力和弯矩中等

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P₁，在 C 处承受集中荷载 P₂。求支座 B 处的弯矩 M_B。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mP₁ = 25 kN 位于 2 mP₂ = 10 kN 位于 6 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m

M_B = kN·m

6.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求两支座之间的最大正弯矩 M_max。

L = 6 mw = 5 kN/m，从 0 到 6 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m

M_max = kN·m

7.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。

P = 8 kNw = 12 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 10 kNw = 8 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 100 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 100 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

11.形心和惯性矩中等

对称工字形截面的翼缘宽 170 mm、厚 18 mm，总高度 400 mm，腹板厚 10 mm。求其绕水平形心轴 x 弯曲时的弹性抗弯截面系数 S_x。

B = 170 mmH = 400 mmt_f = 18 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 40 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mmM = 40 kN·m

σ_顶部 = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 10 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³

u = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 8.5 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³黏土: γ_sat = 17.5 kN/m³

u = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 5 m 的超固结黏土，C_c = 0.4，C_r = 0.02，e₀ = 0.7。其中点深度处的竖向有效应力为 70 kPa ，超固结比 OCR = 2。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 50 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 5 mC_c = 0.4C_r = 0.02e₀ = 0.7σ′₀ = 70 kPaOCR = 2Δσ = 50 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 9.5 m 的黏土，固结系数 c_v = 4 m²/year。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。平均固结度为 70% 时，时间因数 T_v = 0.403。该土层需要多少年 t 才能达到 70% 固结度？

H = 9.5 mc_v = 4 m²/年份U = 70%T_v = 0.403双面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.2 m/s 的速度流过一根长 100 m、内径 250 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1.2 m/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

一根长 300 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.015）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 100 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 100 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 2

H = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 900 mm 的混凝土雨水管半满流。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 900 mmn = 0.013S = 0.0005

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条宽 3.5 m 的矩形砾石渠道须以 1.7 m 的水深均匀输送 6.1 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.025。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 6.1 m³/sb = 3.5 my = 1.7 mn = 0.025

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台效率为 80% 的水泵以 10 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 20 L/sH = 10 mη = 80%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 34 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 80 L/sΔz = 34 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 8

H = m

25.货币的时间价值中等

你以每年 4% 的利率连续复利投资 €1 000。求 14 年后的价值 FV。

PV = €1 000r = 4%t = 14

FV = €

26.货币的时间价值困难

你希望在 10 年后得到 €20 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 5.4%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €20 0005.4% / 12N = 120

A = €

27.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€9 000, €6 000, €5 000, €7 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 6 000CF₃ = 5 000CF₄ = 7 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €50 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €20 000, €25 000, €24 000, €20 000。现金流可按 8% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 20 000CF₂ = 25 000CF₃ = 24 000CF₄ = 20 000

MIRR = %

29.正态分布中等

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 70.75 和 118 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 100σ = 15x₁ = 70.75x₂ = 118

P =

30.正态分布困难

运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 33.75 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·0.5 + 20·6

R_B = 135/4 = 33.75 kN

竖向平衡

R_A = 30 + 20 − 33.75 = 16.25 kN

答案

R_B = 33.75 kN

2.梁的支座反力

答案: R_B = 35.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN，作用于 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·2.5 + 6·3·3.5

R_B = 213/6 = 35.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 78 − 35.5 = 42.5 kN

答案

R_B = 35.5 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 52.5 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 70 kN (T), DE: 47.5 kN (T), FG: 52.5 kN (C), GH: 47.5 kN (C), AF: 74.25 kN (C), HE: 67.18 kN (C), BF: 37.5 kN (T), CG: 0, DH: 47.5 kN (T), BG: 24.75 kN (C), DG: 31.82 kN (C)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 6.25 kN (T), BC: 6.25 kN (T), CD: 23.75 kN (T), DE: 23.75 kN (T), FG: 42.5 kN (C), GH: 42.5 kN (C), AF: 37.12 kN (C), HE: 33.59 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 22.98 kN (T), HC: 1.768 kN (C)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: M_B = −20 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·2 + 10·6

R_B = 110/4 = 27.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 27.5 = 7.5 kN

在 B 处截开，保留外伸段

外伸段上只作用 P₂，力臂为 a。它使梁在支座上方向上弯曲（负弯矩）。

M_B = −P₂·a = −10·2 = −20 kN·m

答案

M_B = −20 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 14.4 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·6·3

R_B = 90/5 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 18 = 12 kN

剪力为零

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 12/5 = 2.4 m

最大正弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 12²/(2·5) = 14.4 kN·m

答案

M_max = 14.4 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ = 1.482 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 8000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(3EI) = 8000·1500³/(3·1.12 × 10¹³) = 0.8036 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·1500⁴/(8·1.12 × 10¹³) = 0.678 mm

相加

δ = 0.8036 + 0.678 = 1.482 mm

答案

δ = 1.482 mm

8.梁的挠度

答案: δ_max = 22.84 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 10000 N, w = 8 N/mm, L = 5000 mm, EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 10000·5000³/(48·3.99 × 10¹²) = 6.527 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 16.32 mm

相加

δ_max = 6.527 + 16.32 = 22.84 mm

答案

δ_max = 22.84 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 24.87 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/2500² = 24871 N = 24.87 kN

答案

P_cr = 24.87 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 145.3 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 3·100000 = 300000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 145.3 mm

答案

d = 145.3 mm

校核：长细比 KL/r 为 330.3，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: S_x = 1318 × 10³ mm³

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 400 − 2·18 = 364 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·400³ − 160·364³)/12

I_x = 2.636 × 10⁸ mm⁴

抗弯截面系数

c = H/2 = 200 mm

S_x = I/c = 2.636 × 10⁸/200

S_x = 1.318 × 10⁶ mm³ = 1318 × 10³ mm³

答案

S_x = 1318 × 10³ mm³

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 67.6 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

腹板: A_w = 20·300 = 6000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·305 + 6000·150)/7600 = 182.6 mm

平行移轴定理

翼缘: 160·10³/12 + 1600·(305 − 182.6)² = 2.397 × 10⁷ mm⁴

腹板: 20·300³/12 + 6000·(150 − 182.6)² = 5.139 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.397 × 10⁷ + 5.139 × 10⁷ = 7.536 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 310 − 182.6 = 127.4 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·127.4/7.536 × 10⁷ = 67.6 MPa

答案

σ_顶部 = 67.6 MPa

13.土中有效应力

答案: u = 88.29 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·9 = 88.29 kPa

答案

u = 88.29 kPa

14.土中有效应力

答案: u = 73.58 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·7.5 = 73.58 kPa

答案

u = 73.58 kPa

15.固结沉降

答案: S = 13.77 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·70 = 140 kPa

与先期固结压力比较

σ′_f = 70 + 50 = 120 kPa ≤ 140 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.02·5/(1 + 0.7)·log₁₀(120/70) = 13.77 mm

答案

S = 13.77 mm

16.固结沉降

答案: t = 2.273 年

排水路径

H_dr = H/2 = 9.5/2 = 4.75 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.403·4.75²/4 = 2.273 年

答案

t = 2.273 年

17.静水压力

答案: F = 82.77 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·2.25 = 82.77 kN

答案

F = 82.77 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 2.633 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.5·2 = 43.16 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0.6667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 0.6667/(2.5·2) = 2.633 m

答案

y_cp = 2.633 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 7.2 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(100/0.25)·1.2²/(2·9.81) = 0.7339 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·0.7339 = 7200 Pa = 7.2 kPa

答案

Δp = 7.2 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: H = 4.802 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

V²/(2g) = 0.2115 m

损失系数

f·L/D = 0.015·300/0.25 = 18

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 = 3.7

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 18 + 3.7)·0.2115 = 4.802 m

答案

H = 4.802 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 0.2024 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.3181 m², R = D/4 = 0.225 m

速度

V = (1/0.013)·0.225^2/3·0.0005^1/2 = 0.6363 m/s

流量

Q = A·V = 0.3181·0.6363 = 0.2024 m³/s

答案

Q = 0.2024 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0008004 m/m

几何参数

A = b·y = 3.5·1.7 = 5.95 m²

P = b + 2y = 3.5 + 2·1.7 = 6.9 m

R = A/P = 0.8623 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·6.1/(5.95·0.906) = 0.02829

S = 0.02829² = 0.0008004

答案

S = 0.0008004

即每千米下降 0.8004 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 2.453 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·10 = 1.962 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 1.962/0.8 = 2.453 kW

答案

P_shaft = 2.453 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 42.1 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16.5 + 8)·0.3305 = 8.097 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 34 + 8.097 = 42.1 m

答案

H = 42.1 m

25.货币的时间价值

答案: FV = 1751 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.04·14 = 0.56

e^0.56 = 1.751

终值

FV = 1 000·1.751 = €1 750.67

答案

FV = €1 750.67

26.货币的时间价值

答案: A = 126.1 €

月利率和存款次数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·10 = 120

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 20 000·0.0045/(1.714 − 1) = €126.06

答案

A = €126.06

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 3573 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 9 000/1.06 = 8 490.57

CF₂/(1 + 0.06)² = 6 000/1.124 = 5 339.98

CF₃/(1 + 0.06)³ = 5 000/1.191 = 4 198.10

CF₄/(1 + 0.06)⁴ = 7 000/1.262 = 5 544.66

相加

NPV = €3 573.30

答案

NPV = €3 573.30

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 19 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

20 000·1.08³ = 25 194.24

25 000·1.08² = 29 160.00

24 000·1.08¹ = 25 920.00

20 000·1.08⁰ = 20 000.00

TV = 100 274.24

MIRR

MIRR = (100 274.24/50 000)^1/4 − 1 = 19%

答案

MIRR = 19%

29.正态分布

答案: P = 0.8593

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (70.75 − 100)/15 = −1.95

z₂ = (118 − 100)/15 = 1.2

中间面积

P = Φ(1.2) − Φ(−1.95) = 0.8849 − 0.02559 = 0.8593

答案

P = 0.8593

30.正态分布

答案: P = 0.7881

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

标准化

z = (0 − 4)/5 = −0.8

概率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答案

P = 0.7881

本内容为独立练习材料。ExamProblems 与该考试的主办机构没有隶属关系，也未获其认可，考试名称仅用于描述内容。 FE exam 由 NCEES 举办，该机构与 ExamProblems 无关，也不为其背书。

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil