FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP₁ = 25 kN 位于 1 mP₂ = 50 kN 位于 1.5 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 3 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 0.5 m 处承受集中荷载 P，并从 2 m 到位于 5 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 3 mAC = 5 mP = 40 kN 位于 0.5 mw = 6 kN/m，从 2 到 5 m

R_A = kN

3.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 10 kN

F_BC = kN

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

H: 10 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mw = 12 kN/m，从 0 到 6 mx = 3.5 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 60 kN 位于 1 mw = 10 kN/m，从 0 到 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.梁的挠度中等

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 1.5 m 处承受集中荷载 P。求自由端 B 处的挠度 δ_B。

P = 9 kNa = 1.5 mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 6 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (结构木材)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 25 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 105 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 105 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 120 mm × 300 mm 的板有一个宽 50 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 180 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 300 mm切口: 50 × 30 mm孔心: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 11 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³

u = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 6.5 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³黏土: γ_sat = 17.5 kN/m³

u = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 7 m 的超固结黏土，C_c = 0.5，C_r = 0.05，e₀ = 1.05。其中点深度处的竖向有效应力为 60 kPa ，超固结比 OCR = 1.5。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 100 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 7 mC_c = 0.5C_r = 0.05e₀ = 1.05σ′₀ = 60 kPaOCR = 1.5Δσ = 100 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 5 m 的黏土，固结系数 c_v = 1 m²/year。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。平均固结度为 90% 时，时间因数 T_v = 0.848。该土层需要多少年 t 才能达到 90% 固结度？

H = 5 mc_v = 1 m²/年份U = 90%T_v = 0.848双面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 50 L/s 的流量流过一根长 800 m、内径 300 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 50 L/sL = 800 mD = 300 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 35 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 35 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形清洁土渠渠道底宽 2 m，边坡 1.5:1（水平:竖直）。水以 2 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.022，底坡 S = 0.001。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 2 my = 2 mz = 1.5n = 0.022S = 0.001

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 200 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 1 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 200 mmn = 0.013V = 1 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台效率为 75% 的水泵以 74 m 的扬程输送 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 30 L/sH = 74 mη = 75%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 13 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 65%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 120 L/sΔz = 13 mL = 300 mD = 250 mmf = 0.02ΣK = 8η = 65%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

你以名义年利率 6% 投资 €1 000，按月复利。求 7 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0006% / 12n = 7

FV = €

26.货币的时间价值困难

一笔 €250 000 的贷款在 20 年内以等额月供偿还。年利率 5.4%，按月复利。求月供 A。

P = €250 0005.4% / 12N = 240

A = €

27.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €20 000，使用 8 年，每年运行费用为 €1 500（每年年末支付）。资本成本为 5%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €20 000M = €1 500n = 8r = 5%

EAC = €

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €4 000, €3 500, €5 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 000CF₂ = 3 500CF₃ = 5 000

IRR = %

29.正态分布中等

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 50.5 和 67 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 65σ = 10x₁ = 50.5x₂ = 67

P =

30.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的前 40% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g40%

x = g

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 50 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·1 + 50·1.5

R_B = 100/4 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 25 = 50 kN

答案

R_A = 50 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 30.33 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 6·3 = 18 kN, x̄ = (2 + 5)/2 = 3.5 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·3 = 40·0.5 + 18·3.5

R_B = 83/3 = 27.67 kN

R_A = 58 − 27.67 = 30.33 kN

答案

R_A = 30.33 kN

3.桁架：节点法

答案: F_BC = −4.714 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·2 → C_y = 3.333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 3.333 = 6.667 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/5.657 = 0.7071, cos γ = 4/5.657 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3.333/0.7071 = −4.714 kN

答案

F_BC = −4.714 kN (受压)

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 7.5 kN (C), BC: 5 kN (C), CD: 5 kN (C), DE: 2.5 kN (C), FG: 2.5 kN (C), GH: 7.5 kN (C), AF: 3.536 kN (C), HE: 3.536 kN (T), BF: 2.5 kN (T), CG: 0, DH: 2.5 kN (C), BG: 3.536 kN (C), DG: 3.536 kN (T)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 52.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·6·3

R_B = 216/6 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 36 = 36 kN

在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 36·3.5 − 12·3.5·1.75 = 52.5 kN·m

答案

M_x = 52.5 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 68 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·1 + 10·5·2.5

R_B = 185/5 = 37 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 37 = 73 kN

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 73·1 − 10·1·0.5 = 68 kN·m

答案

M_x = 68 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ_B = 24.11 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 9000 N, a = 1500 mm, L = 2500 mm

EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

自由端的挠度

荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。

δ_P = Pa³/(3EI) = 12.05 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.01205 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 24.11 mm

答案

δ_B = 24.11 mm

8.梁的挠度

答案: I_req = 8.629 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·1500⁴/(384·11000·4.167) = 8.629 × 10⁶ mm⁴

I_req = 8.629 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 8.629 × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 5.888 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1500² = 5888 N = 5.888 kN

答案

P_cr = 5.888 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 64.15 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2.5·105000 = 262500 N

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·262500·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 64.15 mm

答案

d = 64.15 mm

校核：长细比 KL/r 为 155.9，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 12.24 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

腹板: A_w = 18·120 = 2160 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·135 + 2160·60)/8760 = 116.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 220·30³/12 + 6600·(135 − 116.5)² = 2.752 × 10⁶ mm⁴

腹板: 18·120³/12 + 2160·(60 − 116.5)² = 9.489 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.752 × 10⁶ + 9.489 × 10⁶ = 1.224 × 10⁷ mm⁴ = 12.24 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 12.24 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 268.5 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (36000·150 − 1500·180)/(36000 − 1500) = 148.7 mm

完整的板关于 ȳ

120·300³/12 + 36000·1.304² = 270.1 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

50·30³/12 + 1500·31.3² = 1.582 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 268.5 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 268.5 × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力

答案: u = 88.29 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·9 = 88.29 kPa

答案

u = 88.29 kPa

14.土中有效应力

答案: u = 34.34 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3.5 = 34.34 kPa

答案

u = 34.34 kPa

15.固结沉降

答案: S = 456.7 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1.5·60 = 90 kPa

与先期固结压力比较

σ′_f = 60 + 100 = 160 kPa > 90 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.05·7/(1 + 1.05)·log₁₀(90/60) + 0.5·7/(1 + 1.05)·log₁₀(160/90)

S = 30.06 + 426.6 = 456.7 mm

答案

S = 456.7 mm

16.固结沉降

答案: t = 5.3 年

排水路径

H_dr = H/2 = 5/2 = 2.5 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.848·2.5²/1 = 5.3 年

答案

t = 5.3 年

17.静水压力

答案: F = 33.11 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·1.5 = 33.11 kN

答案

F = 33.11 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 4.667 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4.5·9 = 500.6 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.5 + 6.75/(4.5·9) = 4.667 m

答案

y_cp = 4.667 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 1.224 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²

V = Q/A = 0.05/0.07069 = 0.7074 m/s

速度水头

V²/(2g) = 0.7074²/(2·9.81) = 0.0255 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(800/0.3)·0.7074²/(2·9.81) = 1.224 m

答案

h_f = 1.224 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 273.6 L/s

损失系数

f·L/D = 0.018·200/0.25 = 14.4

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

35 = (14.4 + 7.7)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·35/22.1) = 5.574 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 5.574·0.04909 = 0.2736 m³/s = 273.6 L/s

答案

Q = 273.6 L/s

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 15.18 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (2 + 1.5·2)·2 = 10 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·2·√(1 + 1.5²) = 9.211 m

R = A/P = 1.086 m

速度

V = (1/0.022)·1.086^2/3·0.001^1/2 = 1.518 m/s

流量

Q = A·V = 10·1.518 = 15.18 m³/s

答案

Q = 15.18 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.009175 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.2/4 = 0.05 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1/0.1357)² = 0.009175

答案

S = 0.009175

即每千米下降 9.175 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 29.04 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·74 = 21.78 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 21.78/0.75 = 29.04 kW

答案

P_shaft = 29.04 kW

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 41.2 kW

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 8)·0.3046 = 9.747 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 13 + 9.747 = 22.75 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.12·22.75/0.65 = 41.2 kW

答案

P_shaft = 41.2 kW

25.货币的时间价值

答案: FV = 1520 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.06/12 = 0.005

N = m·n = 12·7 = 84

终值

FV = 1 000·(1 + 0.005)⁸⁴ = 1 000·1.52 = €1 520.37

答案

FV = €1 520.37

26.货币的时间价值

答案: A = 1706 €

月利率和还款期数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·20 = 240

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.3404

A = 250 000·0.0045/(1 − 0.3404) = €1 705.63

答案

A = €1 705.63

27.NPV 与 IRR

答案: EAC = 4594 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.05⁻⁸)/0.05 = 6.463

年化购置价格

20 000/6.463 = 3 094.44

EAC

EAC = 3 094.44 + 1 500 = €4 594.44

答案

EAC = €4 594.44

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 11.55 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(10%) = 285.50

NPV(15%) = −587.66

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 10 + 5·285.50/(285.50 − (−587.66)) = 11.63%

精确: NPV(11.55%) = 0 → IRR = 11.55%

答案

IRR = 11.55%

29.正态分布

答案: P = 0.5057

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (50.5 − 65)/10 = −1.45

z₂ = (67 − 65)/10 = 0.2

中间面积

P = Φ(0.2) − Φ(−1.45) = 0.5793 − 0.07353 = 0.5057

答案

P = 0.5057

30.正态分布

答案: x = 251.3 g

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.6

由表得到的 z

z ≈ 0.25

回到原来的单位

x = 250 + 0.25·5 = 251.3 g

答案

x = 251.3 g

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