梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
FE 土木考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.梁的支座反力中等
梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 4.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RB，以向上为正。
AB = 4.5 mAC = 6 mP1 = 40 kN 位于 2 mP2 = 35 kN 位于 6 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 6 mP = 15 kN 位于 4.5 mw = 2 kN/m，从 4 到 5 m
RB = kN
3.桁架：节点法中等
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 35 kN
FBC = kN
4.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 15 kN ↓C: 30 kN ↓F: 40 kN ↓G: 35 kN ↓H: 25 kN ←
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
5.剪力和弯矩中等
简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 8 mP1 = 40 kN 位于 1 mP2 = 30 kN 位于 6 m
Mmax = kN·m
6.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求两支座之间的最大正弯矩 Mmax。
L = 7.5 mw = 12 kN/m，从 0 到 7.5 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m
Mmax = kN·m
7.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。
P = 8 kNw = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。 求支撑处的反力 RB。
L = 4 mw = 15 kN/m
RB = kN
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 105 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。
P = 105 kNn = 2L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.形心和惯性矩中等
一块 200 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 120 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 200 mmh = 300 mmd = 50 mm孔心: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
一块 150 mm × 200 mm 的板有一个宽 80 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 70 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 150 mmh = 200 mm切口: 80 × 50 mm孔心: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 8 mzw = 4 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 19.5 kN/m³
σ′ = kPa
14.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 5.5 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 20.5 kN/m³黏土: γsat = 17 kN/m³
σ′ = kPa
15.固结沉降中等
一层厚 8 m 的超固结黏土，Cc = 0.35，Cr = 0.05，e₀ = 0.85。其中点深度处的竖向有效应力为 100 kPa ，超固结比 OCR = 3。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 50 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 8 mCc = 0.35Cr = 0.05e0 = 0.85σ′0 = 100 kPaOCR = 3Δσ = 50 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
一层厚 2.5 m 的黏土，固结系数 cv = 2 m²/year。 它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。 平均固结度为 60% 时，时间因数 Tv = 0.287。该土层需要多少年 t 才能达到 60% 固结度？
H = 2.5 mcv = 2 m²/年份U = 60%Tv = 0.287单面排水
t = 年
17.静水压力中等
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.2 m/s 的速度流过一根长 800 m、内径 250 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 1.2 m/sL = 800 mD = 250 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
20.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 200 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 17 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 17 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
21.明渠流（曼宁公式）中等
一条矩形植草土渠渠道宽 6 m。水以 1.8 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.03，底坡 S = 0.004。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 6 my = 1.8 mn = 0.03S = 0.004
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
一条宽 1.5 m 的矩形砾石渠道 须以 1 m 的水深均匀输送 1.9 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.025。求所需底坡 S（以 m/m 计）。
Q = 1.9 m³/sb = 1.5 my = 1 mn = 0.025
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 54 m 的扬程输送 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 56.5 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 80 L/sH = 54 mPshaft = 56.5 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 27 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 75 L/sΔz = 27 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 6
H = m
25.货币的时间价值中等
一处房产预计明年获得 €12 000 的净租金。租金预计每年永久增长 4%。要求回报率为每年 9%。求该房产今天的价值 PV。
C1 = €12 000g = 4%r = 9%
PV = €
26.货币的时间价值困难
你在 23 年内每月月末存入 €150。账户年利率 4.8%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €1504.8% / 12N = 276
FV = €
27.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €100 000。它在第一年年末产生 €6 000，之后现金流每年永久增长 4%。资本成本为 9%。求净现值 NPV。
C0 = €100 000CF1 = €6 000g = 4%r = 9%
NPV = €
28.NPV 与 IRR困难
一笔 €25 000 的投资在 7 年内每年年末回报 €5 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。
C0 = €25 000CF = €5 000n = 7
IRR = %
29.正态分布中等
X 服从均值 12 min、标准差 1.5 min 的正态分布；Y 独立，服从均值 20 min、标准差 2 min 的正态分布。求 X + Y 大于 35.8 min 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 35.8 min
P =
30.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 64.44 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
对 A 取矩
逆时针为正。
ΣMA = 0: RB·4.5 = 40·2 + 35·6
RB = 290/4.5 = 64.44 kN
竖向平衡
RA = 40 + 35 − 64.44 = 10.56 kN
答案
RB = 64.44 kN
2.梁的支座反力
答案: RB = 12.75 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN，作用于 x̄ = 4.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 15·4.5 + 2·1·4.5
RB = 76.5/6 = 12.75 kN
ΣFy = 0: RA = 17 − 12.75 = 4.25 kN
答案
RB = 12.75 kN
3.桁架：节点法
答案: FBC = −11.11 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 35·1 → Cy = 4.375 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 4.375 = 30.63 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 3/7.616 = 0.3939, cos γ = 7/7.616 = 0.9191
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −4.375/0.3939 = −11.11 kN
答案
FBC = −11.11 kN (受压)
4.桁架：节点法
答案: 杆件 DH
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 D
CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 55 kN (T), BC: 55 kN (T), CD: 40 kN (T), DE: 40 kN (T), FG: 105 kN (C), GH: 105 kN (C), AF: 113.1 kN (C), HE: 56.57 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 35.36 kN (T), HC: 56.57 kN (T)
答案
零杆: DH
5.剪力和弯矩
答案: Mmax = 55 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
ΣMA = 0: RB·8 = 40·1 + 30·6
RB = 220/8 = 27.5 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 27.5 = 42.5 kN
各荷载处的弯矩
保留每个荷载左侧的部分。
荷载点 P1: M = RA·1 = 42.5·1 = 42.5 kN·m
荷载点 P2: M = RB·2 = 27.5·2 = 55 kN·m
最大值
Mmax = 55 kN·m (荷载点 P2)
答案
Mmax = 55 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 47.46 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·7.5 = 90 kN，作用于 x̄ = 3.75 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·7.5·3.75
RB = 337.5/6 = 56.25 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 56.25 = 33.75 kN
剪力为零
RA − w·x0 = 0 → x0 = 33.75/12 = 2.813 m
最大正弯矩
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 33.75²/(2·12) = 47.46 kN·m
答案
Mmax = 47.46 kN·m
7.梁的挠度
答案: δ = 10.31 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 8000 N, w = 10 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(3EI) = 8000·3000³/(3·1.68 × 10¹³) = 4.286 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 10·3000⁴/(8·1.68 × 10¹³) = 6.027 mm
相加
δ = 4.286 + 6.027 = 10.31 mm
答案
δ = 10.31 mm
8.梁的挠度
答案: RB = 22.5 kN
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。 对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。
去掉支撑
去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。
δload = wL⁴/(8EI)
支撑处的变形协调
支撑力 RB 单独作用时使自由端上抬 RBL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·4/8 = 22.5 kN
答案
RB = 22.5 kN
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 67.29 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
计算长度
KL = 2·1500 = 3000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3000² = 67288 N = 67.29 kN
答案
Pcr = 67.29 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 46.99 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2·105000 = 210000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 46.99 mm
答案
d = 46.99 mm
校核：长细比 KL/r 为 127.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.形心和惯性矩
答案: Ix = 447.9 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (60000·150 − 1963·120)/(60000 − 1963) = 151 mm
完整的板关于 ȳ
200·300³/12 + 60000·−1.015² = 450.1 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·50⁴/64 + 1963·−31.01² = 2.196 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 447.9 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 447.9 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩
答案: Ix = 95.01 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (30000·100 − 4000·70)/(30000 − 4000) = 104.6 mm
完整的板关于 ȳ
150·200³/12 + 30000·−4.615² = 100.6 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
80·50³/12 + 4000·−34.62² = 5.626 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 95.01 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 95.01 × 10⁶ mm⁴
13.土中有效应力
答案: σ′ = 102.8 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16·4 + 19.5·4 = 142 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·4 = 39.24 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 142 − 39.24 = 102.8 kPa
答案
σ′ = 102.8 kPa
14.土中有效应力
答案: σ′ = 61.66 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·2 + γsat,sand·1 + γsat,clay·2.5
σ = 16.5·2 + 20.5·1 + 17·2.5 = 96 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·3.5 = 34.34 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 96 − 34.34 = 61.66 kPa
答案
σ′ = 61.66 kPa
15.固结沉降
答案: S = 38.07 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
先期固结压力
σ′p = OCR·σ′0 = 3·100 = 300 kPa
与先期固结压力比较
σ′f = 100 + 50 = 150 kPa ≤ 300 kPa
沉降
黏土始终位于再压缩线上。
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0.05·8/(1 + 0.85)·log₁₀(150/100) = 38.07 mm
答案
S = 38.07 mm
16.固结沉降
答案: t = 0.8969 年
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr = H = 2.5 m
时间
t = Tv·Hdr²/cv = 0.287·2.5²/2 = 0.8969 年
答案
t = 0.8969 年
17.静水压力
答案: F = 485.6 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5.5·9 = 485.6 kN
答案
F = 485.6 kN
18.静水压力
答案: F = 90.5 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·3·3 = 90.5 kN
答案
F = 90.5 kN
19.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 34.56 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(800/0.25)·1.2²/(2·9.81) = 3.523 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·3.523 = 34560 Pa = 34.56 kPa
答案
Δp = 34.56 kPa
20.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 191.1 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.022·200/0.25 = 17.6
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
17 = (17.6 + 4.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·17/22) = 3.894 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 3.894·0.04909 = 0.1911 m³/s = 191.1 L/s
答案
Q = 191.1 L/s
21.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 24.63 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = b·y = 6·1.8 = 10.8 m²
P = b + 2y = 6 + 2·1.8 = 9.6 m
R = A/P = 1.125 m
速度
V = (1/0.03)·1.1252/3·0.0041/2 = 2.28 m/s
流量
Q = A·V = 10.8·2.28 = 24.63 m³/s
答案
Q = 24.63 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.003103 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = b·y = 1.5·1 = 1.5 m²
P = b + 2y = 1.5 + 2·1 = 3.5 m
R = A/P = 0.4286 m
由曼宁公式解 S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.025·1.9/(1.5·0.5684) = 0.05571
S = 0.05571² = 0.003103
答案
S = 0.003103
即每千米下降 3.103 m。
23.水泵与泵功率
答案: η = 75.01 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·54 = 42.38 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 42.38/56.5 = 75.01%
答案
η = 75.01%
24.水泵与泵功率
答案: H = 31.65 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 6)·0.2905 = 4.648 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 27 + 4.648 = 31.65 m
答案
H = 31.65 m
25.货币的时间价值
答案: PV = 240000 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
增长型永续年金
PV = C1/(r − g) = 12 000/(0.09 − 0.04) = 12 000/0.05 = €240 000.00
答案
PV = €240 000.00
26.货币的时间价值
答案: FV = 75359 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·23 = 276
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 150·(3.01 − 1)/0.004 = €75 358.95
答案
FV = €75 358.95
你自己存入了 €41 400；其余是利息。
27.NPV 与 IRR
答案: NPV = 20000 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
现金流的价值
PV = 6 000/(0.09 − 0.04) = 120 000.00
NPV
NPV = 120 000.00 − 100 000 = €20 000.00
答案
NPV = €20 000.00
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
28.NPV 与 IRR
答案: IRR = 9.196 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
所需的年金系数
(1 − (1 + i)−7)/i = 25 000/5 000 = 5
求利率
利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。
i = 9%: 5.033
i = 10%: 4.868
IRR = 9.196%
答案
IRR = 9.196%
29.正态分布
答案: P = 0.06426
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
标准化
z = (35.8 − 32)/2.5 = 1.52
上尾
P = 1 − Φ(1.52) = 1 − 0.9357 = 0.06426
答案
P = 0.06426
30.正态分布
答案: P = 0.8554
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02828 mm
标准化
z = (0 − 0.03)/0.02828 = −1.06
概率
P = 1 − Φ(−1.06) = 0.8554
答案
P = 0.8554
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