FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP₁ = 30 kN 位于 2.5 mP₂ = 25 kN 位于 5 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 10 kN/m；另在距墙 3 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 10 mw₀ = 10 kN/mP = 10 kN 位于 3 m

M_A = kN·m

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

C: 25 kN ↓D: 40 kN ↓G: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 35 kN ↓F: 35 kN ↓F: 25 kN →G: 25 kN ↓H: 30 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 4.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 6 kN/m，从 0 到 8 mx = 4.5 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 6 mw = 24 kN/m，从 0 到 2 m

M_max = kN·m

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.梁的挠度困难

简支梁在三分点处（距每个支座 L/3）承受两个相等的集中荷载 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 13 kNL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

焊接工字形截面的上翼缘为 200 × 16 mm，腹板高 270 mm、厚 12 mm，下翼缘为 290 × 16 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

上翼缘: 200 × 16 mm腹板: 12 × 270 mm下翼缘: 290 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 8 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 6 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³黏土: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 2.5 m 的超固结黏土，C_c = 0.4，C_r = 0.04，e₀ = 1.15。其中点深度处的竖向有效应力为 95 kPa ，先期固结压力为 215 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 250 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 2.5 mC_c = 0.4C_r = 0.04e₀ = 1.15σ′₀ = 95 kPaσ′_p = 215 kPaΔσ = 250 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 7 m 的黏土，固结系数 c_v = 1 m²/year。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。平均固结度为 70% 时，时间因数 T_v = 0.403。该土层需要多少年 t 才能达到 70% 固结度？

H = 7 mc_v = 1 m²/年份U = 70%T_v = 0.403单面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.9 m/s 的速度流过一根长 50 m、内径 200 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.02，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.9 m/sL = 50 mD = 200 mmf = 0.02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.025 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 200 L/s？

Q = 200 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1.0

Δz = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 300 mm 的混凝土雨水管半满流。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.005。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 300 mmn = 0.013S = 0.005

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 2 m、边坡 2:1（水平:竖直）的梯形抹面混凝土渠道须以 0.6 m 的水深均匀输送 6.2 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.012。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 6.2 m³/sb = 2 my = 0.6 mz = 2n = 0.012

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 42 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 10.6 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 20 L/sH = 42 mP_shaft = 10.6 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 6 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 400 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 30 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.025ΣK = 6p_tank = 400 kPa

H = m

25.货币的时间价值中等

你在 8 年后需要 €10 000。某账户年利率 2%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €10 0002% / 4n = 8

PV = €

26.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €2 500，共 13 年，第一笔今天存入。账户年利率为 3%。第 13 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €2 500i = 3%n = 13

FV = €

27.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €80 000。它在 5 年内每年年末产生 €16 000，之后可以以 €20 000 出售。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €80 000CF = €16 000S = €20 000n = 5r = 10%

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €200 000。其现金流在第 1 年年末为 €22 500，之后每年增长 4%，直到第 8 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €22 500g = 4%n = 8r = 8%

NPV = €

29.正态分布中等

X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 735.2 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 735.2 g

P =

30.正态分布困难

运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 21.67 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·2.5 + 25·5

R_B = 200/6 = 33.33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 33.33 = 21.67 kN

答案

R_A = 21.67 kN

2.梁的支座反力

答案: M_A = 363.3 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·10·10 = 50 kN

x̄ = 2L/3 = 6.667 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 50·6.667 + 10·3 = 363.3 kN·m

答案

M_A = 363.3 kN·m

3.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 32.5 kN (T), BC: 32.5 kN (T), CD: 52.5 kN (T), DE: 52.5 kN (T), FG: 65 kN (C), GH: 65 kN (C), AF: 45.96 kN (C), HE: 74.25 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 45.96 kN (T), HC: 17.68 kN (T)

答案

零杆: BF

4.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 92.08 kN (T), BC: 92.08 kN (T), CD: 99.58 kN (T), DE: 99.58 kN (T), FG: 112.5 kN (C), GH: 112.5 kN (C), AF: 83.85 kN (C), HE: 124.5 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 25.52 kN (T), HC: 16.15 kN (T)

答案

零杆: BF

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 47.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·8·4

R_B = 192/8 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

在 x = 4.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 24·4.5 − 6·4.5·2.25 = 47.25 kN·m

答案

M_x = 47.25 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 33.33 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 24·2 = 48 kN，作用于 x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 24·2·1

R_B = 48/6 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 8 = 40 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 40/24 = 1.667 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 40·1.667 − 24·1.667²/2 = 33.33 kN·m

答案

M_max = 33.33 kN·m

7.梁的挠度

答案: θ_A = 0.006988 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 10·3000³/(24·1.61 × 10¹²) = 0.006988 rad

答案

θ_A = 0.006988 rad

即 0.4004°。

8.梁的挠度

答案: δ_max = 32.77 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 13000 N, L = 5000 mm

EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

一个荷载位于 L/3 处

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 16.39 mm

两个荷载相加

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 32.77 mm

答案

δ_max = 32.77 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 21.7 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

计算长度

KL = 2·1000 = 2000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2000² = 21704 N = 21.7 kN

答案

P_cr = 21.7 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 1.554 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/15 = 666.7

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/666.7² = 1.554 MPa

答案

σ_cr = 1.554 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 26.15 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

腹板: A_w = 14·180 = 2520 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·195 + 2520·90)/7920 = 161.6 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·30³/12 + 5400·(195 − 161.6)² = 6.432 × 10⁶ mm⁴

腹板: 14·180³/12 + 2520·(90 − 161.6)² = 1.972 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6.432 × 10⁶ + 1.972 × 10⁷ = 2.615 × 10⁷ mm⁴ = 26.15 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 26.15 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 176.3 × 10⁶ mm⁴

分成三个矩形

每个 y 都从底边量起。

上翼缘: A = 3200 mm², y = 294 mm

腹板: A = 3240 mm², y = 151 mm

下翼缘: A = 4640 mm², y = 8 mm

形心

ȳ = (3200·294 + 3240·151 + 4640·8)/11080 = 132.4 mm

平行移轴定理

上翼缘: 200·16³/12 + 3200·161.6² = 8.362 × 10⁷ mm⁴

腹板: 12·270³/12 + 3240·18.58² = 2.08 × 10⁷ mm⁴

下翼缘: 290·16³/12 + 4640·124.4² = 7.192 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.362 × 10⁷ + 2.08 × 10⁷ + 7.192 × 10⁷

I_x = 1.763 × 10⁸ mm⁴ = 176.3 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 176.3 × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力

答案: σ′ = 86.83 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15.5·1 + 20·7 = 155.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·7 = 68.67 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 155.5 − 68.67 = 86.83 kPa

答案

σ′ = 86.83 kPa

14.土中有效应力

答案: σ = 111 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2

σ = 15·1 + 20·3 + 18·2 = 111 kPa

答案

σ = 111 kPa

15.固结沉降

答案: S = 112 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 95 + 250 = 345 kPa > 215 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.04·2.5/(1 + 1.15)·log₁₀(215/95) + 0.4·2.5/(1 + 1.15)·log₁₀(345/215)

S = 16.5 + 95.53 = 112 mm

答案

S = 112 mm

16.固结沉降

答案: t = 19.75 年

排水路径

H_dr = H = 7 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.403·7²/1 = 19.75 年

答案

t = 19.75 年

17.静水压力

答案: F = 88.29 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·6 = 88.29 kN

答案

F = 88.29 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 4.519 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·3 = 132.4 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.5 + 0.25/(4.5·3) = 4.519 m

答案

y_cp = 4.519 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 21.02 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(50/0.2)·2.9²/(2·9.81) = 2.143 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·2.143 = 21025 Pa = 21.02 kPa

答案

Δp = 21.02 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 6.542 m

速度

V = Q/A = 0.2/0.07069 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

损失系数

f·L/D = 0.025·100/0.3 = 8.333

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7

总水头损失

h_f = 8.333·0.408 = 3.4 m

h_m = 7.7·0.408 = 3.142 m

Δz = h_f + h_m = 6.542 m

答案

Δz = 6.542 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 0.03419 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.03534 m², R = D/4 = 0.075 m

速度

V = (1/0.013)·0.075^2/3·0.005^1/2 = 0.9673 m/s

流量

Q = A·V = 0.03534·0.9673 = 0.03419 m³/s

答案

Q = 0.03419 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.00493 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (2 + 2·0.6)·0.6 = 1.92 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·0.6·√(1 + 2²) = 4.683 m

R = A/P = 0.41 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.012·6.2/(1.92·0.5519) = 0.07022

S = 0.07022² = 0.00493

答案

S = 0.00493

即每千米下降 4.93 m。

23.水泵与泵功率

答案: η = 77.74 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·42 = 8.24 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 8.24/10.6 = 77.74%

答案

η = 77.74%

24.水泵与泵功率

答案: H = 50.1 m

速度

V = Q/A = 0.03/0.01767 = 1.698 m/s

V²/(2g) = 0.1469 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16.67 + 6)·0.1469 = 3.33 m

压力水头

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9.81) = 40.77 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 40.77 + 3.33 = 50.1 m

答案

H = 50.1 m

25.货币的时间价值

答案: PV = 8525 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.02/4 = 0.005

N = 4·8 = 32

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.173 = €8 524.84

答案

PV = €8 524.84

26.货币的时间价值

答案: FV = 40216 €

普通年金系数

((1 + 0.03)¹³ − 1)/0.03 = 15.62

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 2 500·15.62·1.03 = €40 215.81

答案

FV = €40 215.81

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = −6929 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

16 000·3.791 = 60 652.59

残值的现值

20 000/1.611 = 12 418.43

NPV

NPV = −80 000 + 60 652.59 + 12 418.43 = −€6 928.99

答案

NPV = −€6 928.99

28.NPV 与 IRR

答案: NPV = −53410 €

增长型年金的现值

((1.04)/(1.08))⁸ = 0.7394

PV = 22 500/(0.08 − 0.04)·(1 − 0.7394) = 146 590.16

NPV

NPV = 146 590.16 − 200 000 = −€53 409.84

答案

NPV = −€53 409.84

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

29.正态分布

答案: P = 0.9332

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

标准化

z = (735.2 − 750)/9.849 = −1.5

上尾

P = 1 − Φ(−1.5) = 1 − 0.06681 = 0.9332

答案

P = 0.9332

30.正态分布

答案: P = 0.7881

差的分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

标准化

z = (0 − 4)/5 = −0.8

概率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答案

P = 0.7881

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