梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
FE 土木考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 6 mP1 = 45 kN 位于 1.5 mP2 = 45 kN 位于 3.5 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 12 kN/m；另在距墙 3 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。
L = 8 mw0 = 12 kN/mP = 20 kN 位于 3 m
MA = kN·m
3.桁架：节点法中等
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 15 kN
FAC = kN
4.桁架：节点法困难
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 30 kN水平荷载 = 30 kN →
FBC = kN
5.剪力和弯矩中等
悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 2.5 m 处承受集中荷载 P。 求在固定端 A 处的弯矩 MA。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 3 mP = 10 kN 位于 2.5 mw = 12 kN/m，从 0 到 3 m
MA = kN·m
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
20 kN @ 12 m50 kN @ 2 m12 kN/m, 0–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。
w = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 25 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 25 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.形心和惯性矩中等
对称工字形截面的翼缘宽 150 mm、厚 14 mm，总高度 440 mm，腹板厚 10 mm。 求其对水平形心轴 x 的惯性矩 Ix。
B = 150 mmH = 440 mmtf = 14 mmtw = 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 30 kN·m 的正弯矩。 求底边的弯曲应力 σ底部。
bf = 260 mmtf = 25 mmtw = 14 mmhw = 180 mmM = 30 kN·m
σ底部 = MPa
13.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 12 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 20 kN/m³
σ′ = kPa
14.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。
z = 8 mzw = 4 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 20 kN/m³黏土: γsat = 19 kN/m³
u = kPa
15.固结沉降中等
一层厚 7.5 m 的超固结黏土，Cc = 0.4，Cr = 0.02，e₀ = 1.2。其中点深度处的竖向有效应力为 55 kPa ，先期固结压力为 125 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 40 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 7.5 mCc = 0.4Cr = 0.02e0 = 1.2σ′0 = 55 kPaσ′p = 125 kPaΔσ = 40 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
在室内固结仪试验中，一个厚 25 mm、上下两面排水的黏土试样在 5 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 9.5 m 的土层。 它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。 现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？
hlab = 25 mmtlab = 5 minH = 9.5 m现场：双面排水
t = 天
17.静水压力中等
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 1 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.5 m/s 的速度流过一根长 50 m、内径 100 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 2.5 m/sL = 50 mD = 100 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
20.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 150 m、内径 100 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 25 L/s？
Q = 25 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
一根内径 1200 mm 的混凝土雨水管刚好满流（作为明渠，不承压）。 曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.0008。求流量 Q，以 m³/s 计。
D = 1200 mmn = 0.013S = 0.0008
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
一条宽 2.5 m 的矩形抹面混凝土渠道 须以 0.7 m 的水深均匀输送 3.8 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.012。求所需底坡 S（以 m/m 计）。
Q = 3.8 m³/sb = 2.5 my = 0.7 mn = 0.012
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 56 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 7 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 10 L/sH = 56 mPshaft = 7 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 6 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 80%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 40 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 5η = 80%
Pshaft = kW
25.货币的时间价值中等
一份年金在每年年末支付 €2 000，共 4 年。年利率为 4%。求该年金的现值 PV。
A = €2 000i = 4%n = 4
PV = €
26.货币的时间价值困难
一笔 €200 000 的贷款在 25 年内以等额月供偿还。年利率 4.8%，按月复利。求月供 A。
P = €200 0004.8% / 12N = 300
A = €
27.NPV 与 IRR中等
一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€10 000, €8 000, €8 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。
r = 6%CF0 = −20 000CF1 = 10 000CF2 = 8 000CF3 = 8 000
NPV = €
28.NPV 与 IRR困难
一个项目需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €5 000, €4 500, €5 000。现金流可按 12% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。
r = 12%CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 4 500CF3 = 5 000
MIRR = %
29.正态分布中等
带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 8 个的总质量超过 697 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8> 697 kg
P =
30.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 10%
x = 分
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 52.5 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·6 = 45·1.5 + 45·3.5
RB = 225/6 = 37.5 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 37.5 = 52.5 kN
答案
RA = 52.5 kN
2.梁的支座反力
答案: MA = 316 kN·m
悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。
三角形荷载的合力
W = ½·12·8 = 48 kN
x̄ = 2L/3 = 5.333 m
对墙的力矩
MA = W·x̄ + P·a = 48·5.333 + 20·3 = 316 kN·m
答案
MA = 316 kN·m
3.桁架：节点法
答案: FAC = 10 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·6 = 15·2 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 5 = 10 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 2/4.472 = 0.4472, cos γ = 4/4.472 = 0.8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −5/0.4472 = −11.18 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−11.18)·0.8944 = 10 kN
答案
FAC = 10 kN (受拉)
4.桁架：节点法
答案: FBC = −43.27 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·5 = 30·3 + 30·3 → Cy = 36 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 36 = −6 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −36/0.8321 = −43.27 kN
答案
FBC = −43.27 kN (受压)
5.剪力和弯矩
答案: MA = −79 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
保留自由端部分
P: −10·2.5 = −25 kN·m
w: −12·3²/2 = −54 kN·m
MA = −25 − 54 = −79 kN·m
答案
MA = −79 kN·m
负号表示负弯矩：上表面受拉。
6.剪力和弯矩
答案: B (x = 2 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 75.5 kN, R2 = 90.5 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 127 kN·m, MC = 106, MD = 37, ME = −80, MF = −40, MG = 0
答案
标记点 B: MB = 127 kN·m
7.梁的挠度
答案: δ = 8.889 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 4000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²
挠度
δ = wL⁴/(8EI) = 2·4000⁴/(8·7.2 × 10¹²) = 8.889 mm
答案
δ = 8.889 mm
8.梁的挠度
答案: Ireq = 20.45 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·2000⁴/(384·11000·5.556) = 2.045 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 20.45 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 20.45 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 30.08 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/3500² = 30079 N = 30.08 kN
答案
Pcr = 30.08 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 53.02 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·25000 = 62500 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 53.02 mm
答案
d = 53.02 mm
校核：长细比 KL/r 为 264.1，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.形心和惯性矩
答案: Ix = 248.9 × 10⁶ mm⁴
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 440 − 2·14 = 412 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (150·440³ − 140·412³)/12
Ix = 2.489 × 10⁸ mm⁴ = 248.9 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 248.9 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩
答案: σ底部 = 187.5 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 260·25 = 6500 mm², yf = 180 + 25/2 = 192.5 mm
腹板: Aw = 14·180 = 2520 mm², yw = 180/2 = 90 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6500·192.5 + 2520·90)/9020 = 163.9 mm
平行移轴定理
翼缘: 260·25³/12 + 6500·(192.5 − 163.9)² = 5.669 × 10⁶ mm⁴
腹板: 14·180³/12 + 2520·(90 − 163.9)² = 2.055 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.669 × 10⁶ + 2.055 × 10⁷ = 2.622 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
底边距中性轴 ȳ。
y = 163.9 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·163.9/2.622 × 10⁷ = 187.5 MPa
答案
σ底部 = 187.5 MPa
13.土中有效应力
答案: σ′ = 138.2 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 15.5·3 + 20·9 = 226.5 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·9 = 88.29 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 226.5 − 88.29 = 138.2 kPa
答案
σ′ = 138.2 kPa
14.土中有效应力
答案: u = 39.24 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·4 = 39.24 kPa
答案
u = 39.24 kPa
15.固结沉降
答案: S = 16.18 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
与先期固结压力比较
σ′f = 55 + 40 = 95 kPa ≤ 125 kPa
沉降
黏土始终位于再压缩线上。
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0.02·7.5/(1 + 1.2)·log₁₀(95/55) = 16.18 mm
答案
S = 16.18 mm
16.固结沉降
答案: t = 501.4 天
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr,lab = 25/2 = 12.5 mm = 0.0125 m
Hdr,field = 9.5/2 = 4.75 m
换算时间
t = Tv·Hdr²/cv，室内和现场的 T_v 和 cv 相同。
tfield = 5·(4.75/0.0125)² = 722000 min
tfield = 722000/1440 = 501.4 天
答案
t = 501.4 天
17.静水压力
答案: F = 110.4 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.25·5 = 110.4 kN
答案
F = 110.4 kN
18.静水压力
答案: F = 271.5 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·4.5·6 = 271.5 kN
答案
F = 271.5 kN
19.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 46.87 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(50/0.1)·2.5²/(2·9.81) = 4.778 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·4.778 = 46875 Pa = 46.87 kPa
答案
Δp = 46.87 kPa
20.管道摩擦与水头损失
答案: Δz = 22.05 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.025/0.007854 = 3.183 m/s
V²/(2g) = 0.5164 m
损失系数
f·L/D = 0.02·150/0.1 = 30
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7
总水头损失
hf = 30·0.5164 = 15.49 m
hm = 12.7·0.5164 = 6.559 m
Δz = hf + hm = 22.05 m
答案
Δz = 22.05 m
21.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 1.103 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = 1.131 m², R = D/4 = 0.3 m
速度
V = (1/0.013)·0.32/3·0.00081/2 = 0.975 m/s
流量
Q = A·V = 1.131·0.975 = 1.103 m³/s
答案
Q = 1.103 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.001976 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = b·y = 2.5·0.7 = 1.75 m²
P = b + 2y = 2.5 + 2·0.7 = 3.9 m
R = A/P = 0.4487 m
由曼宁公式解 S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.012·3.8/(1.75·0.5861) = 0.04446
S = 0.04446² = 0.001976
答案
S = 0.001976
即每千米下降 1.976 m。
23.水泵与泵功率
答案: η = 78.48 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·56 = 5.494 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 5.494/7 = 78.48%
答案
η = 78.48%
24.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 6.145 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 5)·0.2611 = 6.529 m
泵扬程
H = Δz + hL = 6 + 6.529 = 12.53 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.04·12.53/0.8 = 6.145 kW
答案
Pshaft = 6.145 kW
25.货币的时间价值
答案: PV = 7260 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
年金系数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.8548)/0.04 = 3.63
现值
PV = 2 000·3.63 = €7 259.79
答案
PV = €7 259.79
26.货币的时间价值
答案: A = 1146 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·25 = 300
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.3019
A = 200 000·0.004/(1 − 0.3019) = €1 145.99
答案
A = €1 145.99
27.NPV 与 IRR
答案: NPV = 3271 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.06)1 = 10 000/1.06 = 9 433.96
CF2/(1 + 0.06)2 = 8 000/1.124 = 7 119.97
CF3/(1 + 0.06)3 = 8 000/1.191 = 6 716.95
相加
NPV = €3 270.89
答案
NPV = €3 270.89
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
28.NPV 与 IRR
答案: MIRR = 17.72 %
修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入的终值
5 000·1.122 = 6 272.00
4 500·1.121 = 5 040.00
5 000·1.120 = 5 000.00
TV = 16 312.00
MIRR
MIRR = (16 312.00/10 000)1/3 − 1 = 17.72%
答案
MIRR = 17.72%
29.正态分布
答案: P = 0.3085
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 680 kg, σT = 12·√8 = 33.94 kg
标准化
z = (697 − 680)/33.94 = 0.5
概率
P = 1 − Φ(0.5) = 0.3085
答案
P = 0.3085
30.正态分布
答案: x = 80.78 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.1 → z = −1.282
换算回 x
x = 100 + −1.282·15 = 80.78 分
答案
x = 80.78 分
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