FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP₁ = 55 kN 位于 1.5 mP₂ = 55 kN 位于 5 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP = 40 kN 位于 3 mw = 4 kN/m，从 1 到 2 m

R_B = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

F: 35 kN ↓G: 25 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

4.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 20 kN →

F_AC = kN

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 4 kN/m，从 0 到 4 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

50 kN @ 12 m60 kN @ 2 m5 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 20 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.梁的挠度困难

一根矩形截面的简支木梁，宽 150 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/360。求截面的最小高度 h_req。

w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (结构木材)b = 150 mm

h_req = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 40 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 40 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

11.形心和惯性矩中等

圆管外径 D = 100 mm，内径 d = 76 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

D = 100 mmd = 76 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

焊接工字形截面的上翼缘为 120 × 22 mm，腹板高 270 mm、厚 16 mm，下翼缘为 190 × 20 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

上翼缘: 120 × 22 mm腹板: 16 × 270 mm下翼缘: 190 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 5 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 8 mz_w = 5 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³黏土: γ_sat = 18 kN/m³

u = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 4 m 的超固结黏土，C_c = 0.35，C_r = 0.02，e₀ = 0.85。其中点深度处的竖向有效应力为 40 kPa ，先期固结压力为 70 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 15 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 4 mC_c = 0.35C_r = 0.02e₀ = 0.85σ′₀ = 40 kPaσ′_p = 70 kPaΔσ = 15 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 6.5 m 的黏土，固结系数 c_v = 3 m²/year。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。平均固结度为 50% 时，时间因数 T_v = 0.197。该土层需要多少年 t 才能达到 50% 固结度？

H = 6.5 mc_v = 3 m²/年份U = 50%T_v = 0.197单面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.9 m/s 的速度流过一根长 150 m、内径 300 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.9 m/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

一根长 500 m、内径 300 mm（达西摩擦系数 f = 0.018）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 100 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 100 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5

H = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形抹面混凝土渠道底宽 5.5 m，边坡 1:1（水平:竖直）。水以 1.7 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.012，底坡 S = 0.004。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 5.5 my = 1.7 mz = 1n = 0.012S = 0.004

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 1.5 m、边坡 1.5:1（水平:竖直）的梯形未抹面混凝土渠道须以 1 m 的水深均匀输送 8.2 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.014。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 8.2 m³/sb = 1.5 my = 1 mz = 1.5n = 0.014

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台效率为 60% 的水泵以 32 m 的扬程输送 150 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 150 L/sH = 32 mη = 60%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 9 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 350 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 15 L/sΔz = 9 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.025ΣK = 6p_tank = 350 kPa

H = m

25.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 21%，按月复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 21%m = 12

EAR = %

26.货币的时间价值困难

你在 30 年内每月月末存入 €250。账户年利率 4.8%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2504.8% / 12N = 360

FV = €

27.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €60 000，使用 6 年，每年运行费用为 €4 000（每年年末支付）。资本成本为 8%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €60 000M = €4 000n = 6r = 8%

EAC = €

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €11 500, €17 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 11 500CF₂ = 17 000

IRR = %

29.正态分布中等

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 49 和 73.5 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 65σ = 10x₁ = 49x₂ = 73.5

P =

30.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 20%

x = 分

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 50.42 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·1.5 + 55·5

R_B = 357.5/6 = 59.58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 59.58 = 50.42 kN

答案

R_A = 50.42 kN

2.梁的支座反力

答案: R_B = 25.2 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN，作用于 x̄ = 1.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·3 + 4·1·1.5

R_B = 126/5 = 25.2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 25.2 = 18.8 kN

答案

R_B = 25.2 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 29.06 kN (T), BC: 31.87 kN (T), CD: 31.87 kN (T), DE: 15.94 kN (T), FG: 29.06 kN (C), GH: 15.94 kN (C), AF: 48.44 kN (C), HE: 26.56 kN (C), BF: 3.75 kN (T), CG: 0, DH: 21.25 kN (T), BG: 4.688 kN (C), DG: 26.56 kN (C)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: F_AC = 29 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·3 + 20·2 → C_y = 29 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 29 = 6 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −29/0.7071 = −41.01 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−41.01)·0.7071 = 29 kN

答案

F_AC = 29 kN (受拉)

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 3.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·4·2

R_B = 32/4 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 8·0.5 − 4·0.5·0.25 = 3.5 kN·m

答案

M_x = 3.5 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: B (x = 2 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 63 kN, R₂ = 97 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 116 kN·m, M_C = 92, M_D = 48, M_E = −16, M_F = −100, M_G = 0

答案

标记点 B: M_B = 116 kN·m

7.梁的挠度

答案: θ_A = 0.01112 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 20 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 20·1500³/(24·2.53 × 10¹¹) = 0.01112 rad

答案

θ_A = 0.01112 rad

即 0.6369°。

8.梁的挠度

答案: h_req = 245.1 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

所需惯性矩

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·6000⁴/(384·11000·16.67) = 1.841 × 10⁸ mm⁴

所需高度

bh³/12 = I_req → h = (12·1.841 × 10⁸/150)^1/3 = 245.1 mm

答案

h_req = 245.1 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 7.402 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

计算长度

KL = 2·3000 = 6000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/6000² = 7402 N = 7.402 kN

答案

P_cr = 7.402 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 33.7 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 33.7 mm

答案

d = 33.7 mm

校核：长细比 KL/r 为 148.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: r = 31.4 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

A = π(D² − d²)/4 = 3318 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3.271 × 10⁶ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(3.271 × 10⁶/3318) = 31.4 mm

答案

r = 31.4 mm

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 160.1 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成三个矩形

每个 y 都从底边量起。

上翼缘: A = 2640 mm², y = 301 mm

腹板: A = 4320 mm², y = 155 mm

下翼缘: A = 3800 mm², y = 10 mm

形心

ȳ = (2640·301 + 4320·155 + 3800·10)/10760 = 139.6 mm

平行移轴定理

上翼缘: 120·22³/12 + 2640·161.4² = 6.887 × 10⁷ mm⁴

腹板: 16·270³/12 + 4320·15.39² = 2.727 × 10⁷ mm⁴

下翼缘: 190·20³/12 + 3800·129.6² = 6.397 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6.887 × 10⁷ + 2.727 × 10⁷ + 6.397 × 10⁷

I_x = 1.601 × 10⁸ mm⁴ = 160.1 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 160.1 × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力

答案: σ = 82.5 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·4 + 18.5·1 = 82.5 kPa

答案

σ = 82.5 kPa

14.土中有效应力

答案: u = 29.43 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

答案

u = 29.43 kPa

15.固结沉降

答案: S = 5.981 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 40 + 15 = 55 kPa ≤ 70 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.02·4/(1 + 0.85)·log₁₀(55/40) = 5.981 mm

答案

S = 5.981 mm

16.固结沉降

答案: t = 2.774 年

排水路径

H_dr = H = 6.5 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.197·6.5²/3 = 2.774 年

答案

t = 2.774 年

17.静水压力

答案: F = 60.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·2.25 = 60.7 kN

答案

F = 60.7 kN

18.静水压力

答案: F = 145.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.25·7.5 = 145.7 kN

答案

F = 145.7 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 46.26 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(150/0.3)·2.9²/(2·9.81) = 4.715 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·4.715 = 46255 Pa = 46.26 kPa

答案

Δp = 46.26 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: H = 3.815 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.07069 = 1.415 m/s

V²/(2g) = 0.102 m

损失系数

f·L/D = 0.018·500/0.3 = 30

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 = 6.4

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 30 + 6.4)·0.102 = 3.815 m

答案

H = 3.815 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 72.34 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (5.5 + 1·1.7)·1.7 = 12.24 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·1.7·√(1 + 1²) = 10.31 m

R = A/P = 1.187 m

速度

V = (1/0.012)·1.187^2/3·0.004^1/2 = 5.91 m/s

流量

Q = A·V = 12.24·5.91 = 72.34 m³/s

答案

Q = 72.34 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.002975 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (1.5 + 1.5·1)·1 = 3 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·1·√(1 + 1.5²) = 5.106 m

R = A/P = 0.5876 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.014·8.2/(3·0.7015) = 0.05455

S = 0.05455² = 0.002975

答案

S = 0.002975

即每千米下降 2.975 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 78.48 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·32 = 47.09 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 47.09/0.6 = 78.48 kW

答案

P_shaft = 78.48 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 52.76 m

速度

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37.5 + 6)·0.1859 = 8.087 m

压力水头

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9.81) = 35.68 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 9 + 35.68 + 8.087 = 52.76 m

答案

H = 52.76 m

25.货币的时间价值

答案: EAR = 23.14 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.21/12 = 0.0175

复利一年

EAR = (1 + 0.0175)¹² − 1 = 1.231 − 1 = 23.14%

答案

EAR = 23.14%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

26.货币的时间价值

答案: FV = 200537 €

月利率和存款次数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·30 = 360

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(4.209 − 1)/0.004 = €200 536.87

答案

FV = €200 536.87

你自己存入了 €90 000；其余是利息。

27.NPV 与 IRR

答案: EAC = 16979 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.08⁻⁶)/0.08 = 4.623

年化购置价格

60 000/4.623 = 12 978.92

EAC

EAC = 12 978.92 + 4 000 = €16 978.92

答案

EAC = €16 978.92

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 8.61 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 1 371.88

NPV(10%) = −495.87

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·1 371.88/(1 371.88 − (−495.87)) = 8.673%

精确: NPV(8.61%) = 0 → IRR = 8.61%

答案

IRR = 8.61%

29.正态分布

答案: P = 0.7475

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (49 − 65)/10 = −1.6

z₂ = (73.5 − 65)/10 = 0.85

中间面积

P = Φ(0.85) − Φ(−1.6) = 0.8023 − 0.0548 = 0.7475

答案

P = 0.7475

30.正态分布

答案: x = 87.38 分

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

换算回 x

x = 100 + −0.8416·15 = 87.38 分

答案

x = 87.38 分

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