FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 4.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 4.5 mAC = 6 mP₁ = 50 kN 位于 4 mP₂ = 40 kN 位于 6 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 4 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 3.5 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 4 mw₀ = 4 kN/mP = 40 kN 位于 3.5 m

M_A = kN·m

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 30 kN ↓D: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

C: 20 kN ↓D: 35 kN ↓F: 15 kN ↓G: 30 kN ↓H: 40 kN ↓H: 25 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

60 kN @ 3 m10 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 20 kN 位于 1.5 mw = 12 kN/m，从 0 到 5 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

7.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。

P = 8 kNw = 12 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (钢)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.梁的挠度困难

一根矩形截面的简支木梁，宽 75 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/250。求截面的最小高度 h_req。

w = 2.5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 75 mm

h_req = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 4 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 10 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mmM = 10 kN·m

σ_底部 = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 2 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³

σ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 7.5 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³黏土: γ_sat = 17.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 5.5 m 的超固结黏土，C_c = 0.35，C_r = 0.06，e₀ = 1.1。其中点深度处的竖向有效应力为 40 kPa ，超固结比 OCR = 2。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 180 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 5.5 mC_c = 0.35C_r = 0.06e₀ = 1.1σ′₀ = 40 kPaOCR = 2Δσ = 180 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 9.5 m 的黏土，固结系数 c_v = 1.5 m²/year。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。平均固结度为 50% 时，时间因数 T_v = 0.197。该土层需要多少年 t 才能达到 50% 固结度？

H = 9.5 mc_v = 1.5 m²/年份U = 50%T_v = 0.197单面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 3 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.4 m/s 的速度流过一根长 800 m、内径 150 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.4 m/sL = 800 mD = 150 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 600 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 75 L/s？

Q = 75 L/sL = 600 mD = 300 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条矩形砾石渠道宽 4 m。水以 0.9 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.025，底坡 S = 0.002。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 4 my = 0.9 mn = 0.025S = 0.002

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条宽 2.5 m 的矩形砾石渠道须以 2.1 m 的水深均匀输送 5.6 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.025。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 5.6 m³/sb = 2.5 my = 2.1 mn = 0.025

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 72 m 的扬程输送 150 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 151.4 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 150 L/sH = 72 mP_shaft = 151.4 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 8 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 4（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 80%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 120 L/sΔz = 8 mL = 400 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 4η = 80%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €20 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2.5%。要求回报率为每年 5.5%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €20 000g = 2.5%r = 5.5%

PV = €

26.货币的时间价值困难

你在 5 年内每月月末存入 €200。账户年利率 4.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2004.2% / 12N = 60

FV = €

27.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000，使用 9 年，每年运行费用为 €1 500（每年年末支付）。资本成本为 8%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €30 000M = €1 500n = 9r = 8%

EAC = €

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €15 500, €18 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 15 500CF₂ = 18 000

IRR = %

29.正态分布中等

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 29.3 和 42.8 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 32σ = 6x₁ = 29.3x₂ = 42.8

P =

30.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的后 10% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g10%

x = g

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 97.78 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·4.5 = 50·4 + 40·6

R_B = 440/4.5 = 97.78 kN

竖向平衡

R_A = 50 + 40 − 97.78 = −7.778 kN

答案

R_B = 97.78 kN

R_A 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

2.梁的支座反力

答案: M_A = 150.7 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·4·4 = 8 kN

x̄ = L/3 = 1.333 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 8·1.333 + 40·3.5 = 150.7 kN·m

答案

M_A = 150.7 kN·m

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 20.63 kN (T), BC: 18.75 kN (T), CD: 18.75 kN (T), DE: 16.87 kN (T), FG: 20.63 kN (C), GH: 16.87 kN (C), AF: 34.38 kN (C), HE: 28.12 kN (C), BF: 27.5 kN (T), CG: 0, DH: 22.5 kN (T), BG: 3.125 kN (T), DG: 3.125 kN (C)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 22.5 kN (T), BC: 22.5 kN (T), CD: 57.5 kN (T), DE: 57.5 kN (T), FG: 83.75 kN (C), GH: 83.75 kN (C), AF: 79.17 kN (C), HE: 95.83 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 60.42 kN (T), HC: 2.083 kN (T)

答案

零杆: BF

5.剪力和弯矩

答案: D (x = 3 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 38.33 kN, R₂ = 31.67 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 38.33, M_C = 66.67, M_D = 95 kN·m, M_E = 63.33, M_F = 31.67, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 95 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 52.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1.5 + 12·5·2.5

R_B = 180/5 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 36 = 44 kN

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 44·1.5 − 12·1.5·0.75 = 52.5 kN·m

答案

M_x = 52.5 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ = 5.968 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 8000 N, w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(3EI) = 8000·2500³/(3·1.68 × 10¹³) = 2.48 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·2500⁴/(8·1.68 × 10¹³) = 3.488 mm

相加

δ = 2.48 + 3.488 = 5.968 mm

答案

δ = 5.968 mm

8.梁的挠度

答案: h_req = 245.5 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2.5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δ_allow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

所需惯性矩

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2.5·5000⁴/(384·11000·20) = 9.248 × 10⁷ mm⁴

所需高度

bh³/12 = I_req → h = (12·9.248 × 10⁷/75)^1/3 = 245.5 mm

答案

h_req = 245.5 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 4.59 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/2800² = 4590 N = 4.59 kN

答案

P_cr = 4.59 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 3.084 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/10 = 800

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3.084 MPa

答案

σ_cr = 3.084 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 32.61 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

腹板: A_w = 18·200 = 3600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·210 + 3600·100)/6800 = 151.8 mm

平行移轴定理

翼缘: 160·20³/12 + 3200·(210 − 151.8)² = 1.096 × 10⁷ mm⁴

腹板: 18·200³/12 + 3600·(100 − 151.8)² = 2.165 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.096 × 10⁷ + 2.165 × 10⁷ = 3.261 × 10⁷ mm⁴ = 32.61 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 32.61 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 183.2 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

腹板: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·110 + 1400·50)/6600 = 97.27 mm

平行移轴定理

翼缘: 260·20³/12 + 5200·(110 − 97.27)² = 1.016 × 10⁶ mm⁴

腹板: 14·100³/12 + 1400·(50 − 97.27)² = 4.295 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.016 × 10⁶ + 4.295 × 10⁶ = 5.311 × 10⁶ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 97.27 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·97.27/5.311 × 10⁶ = 183.2 MPa

答案

σ_底部 = 183.2 MPa

13.土中有效应力

答案: σ = 36.5 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16.5·1 + 20·1 = 36.5 kPa

答案

σ = 36.5 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 82.6 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2.5

σ = 15·3 + 19·2 + 17.5·2.5 = 126.8 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4.5 = 44.15 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 126.8 − 44.15 = 82.6 kPa

答案

σ′ = 82.6 kPa

15.固结沉降

答案: S = 450 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·40 = 80 kPa

与先期固结压力比较

σ′_f = 40 + 180 = 220 kPa > 80 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.06·5.5/(1 + 1.1)·log₁₀(80/40) + 0.35·5.5/(1 + 1.1)·log₁₀(220/80)

S = 47.3 + 402.7 = 450 mm

答案

S = 450 mm

16.固结沉降

答案: t = 11.85 年

排水路径

H_dr = H = 9.5 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.197·9.5²/1.5 = 11.85 年

答案

t = 11.85 年

17.静水压力

答案: F = 71.74 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·2.25 = 71.74 kN

答案

F = 71.74 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 4.373 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.25·5 = 208.5 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·2.5³/12 = 2.604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.25 + 2.604/(4.25·5) = 4.373 m

答案

y_cp = 4.373 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 337.9 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(800/0.15)·2.4²/(2·9.81) = 34.45 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·34.45 = 337920 Pa = 337.9 kPa

答案

Δp = 337.9 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 2.45 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s

V²/(2g) = 0.05738 m

损失系数

f·L/D = 0.015·600/0.3 = 30

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7

总水头损失

h_f = 30·0.05738 = 1.721 m

h_m = 12.7·0.05738 = 0.7287 m

Δz = h_f + h_m = 2.45 m

答案

Δz = 2.45 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 4.686 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 4·0.9 = 3.6 m²

P = b + 2y = 4 + 2·0.9 = 5.8 m

R = A/P = 0.6207 m

速度

V = (1/0.025)·0.6207^2/3·0.002^1/2 = 1.302 m/s

流量

Q = A·V = 3.6·1.302 = 4.686 m³/s

答案

Q = 4.686 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0009844 m/m

几何参数

A = b·y = 2.5·2.1 = 5.25 m²

P = b + 2y = 2.5 + 2·2.1 = 6.7 m

R = A/P = 0.7836 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·5.6/(5.25·0.8499) = 0.03137

S = 0.03137² = 0.0009844

答案

S = 0.0009844

即每千米下降 0.9844 m。

23.水泵与泵功率

答案: η = 69.98 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·72 = 105.9 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 105.9/151.4 = 69.98%

答案

η = 69.98%

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 24.32 kW

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 4)·0.3046 = 8.529 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 8 + 8.529 = 16.53 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.12·16.53/0.8 = 24.32 kW

答案

P_shaft = 24.32 kW

25.货币的时间价值

答案: PV = 666667 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0.055 − 0.025) = 20 000/0.03 = €666 666.67

答案

PV = €666 666.67

26.货币的时间价值

答案: FV = 13327 €

月利率和存款次数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·5 = 60

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1.233 − 1)/0.0035 = €13 327.19

答案

FV = €13 327.19

你自己存入了 €12 000；其余是利息。

27.NPV 与 IRR

答案: EAC = 6302 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.08⁻⁹)/0.08 = 6.247

年化购置价格

30 000/6.247 = 4 802.39

EAC

EAC = 4 802.39 + 1 500 = €6 302.39

答案

EAC = €6 302.39

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 21.34 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 416.67

NPV(25%) = −1 080.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·416.67/(416.67 − (−1 080.00)) = 21.39%

精确: NPV(21.34%) = 0 → IRR = 21.34%

答案

IRR = 21.34%

29.正态分布

答案: P = 0.6377

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (29.3 − 32)/6 = −0.45

z₂ = (42.8 − 32)/6 = 1.8

中间面积

P = Φ(1.8) − Φ(−0.45) = 0.9641 − 0.3264 = 0.6377

答案

P = 0.6377

30.正态分布

答案: x = 243.6 g

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.1

由表得到的 z

z ≈ −1.28

回到原来的单位

x = 250 − 1.28·5 = 243.6 g

答案

x = 243.6 g

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