FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

土中有效应力

总应力
σ = Σγi·hi
孔隙水压力
u = γw·(z − zw)
有效应力
σ′ = σ − u
水
γw = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
最终应力
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
超固结，σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
超固结比
OCR = σ′p/σ′0
固结时间
t = Tv·Hdr²/cv
排水路径
Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
水力半径
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形
A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流
R = D/4
所需坡度
S = (n·Q/(A·R2/3))²

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数
z = (x − μ)/σ
小于 x
P(X < x) = Φ(z)
大于 x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间
Φ(z2) − Φ(z1)
百分位数
x = μ + z·σ

方法

  1. 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
  2. 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
  3. 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
  4. 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 80 kNP2​ = 70 kNABCRA​ = ?1.5 m1.5 m1 m

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 3 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RA，以向上为正。

AB = 3 mAC = 4 mP1 = 80 kN 位于 1.5 mP2 = 70 kN 位于 4 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
P = 30 kNQ = 70 kNADCRD​ = ?1 m3 m3 m3 m

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 4 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 10 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 7 m 处的集中荷载 P 以及距 A 为 1 m 处的集中荷载 Q。 求滚动支座处的反力 RD。

AC = 4 mAD = 10 mP = 30 kN 位于 7 mQ = 70 kN 位于 1 m
RD = kN
3.桁架：节点法中等
ABBCACACB25 kN5 m4 m4 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 25 kN
FAB = kN
4.桁架：节点法困难
ABBCACACB50 kN10 kN6 m1 m4 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 50 kN水平荷载 = 10 kN →
FAB = kN
5.剪力和弯矩中等
w = 8 kN/mAB截面3.5 m1.5 m

求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 8 kN/m，从 0 到 5 mx = 3.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
w = 6 kN/mP = 20 kNAB截面2.5 m1.5 m

求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 20 kN 位于 2.5 mw = 6 kN/m，从 0 到 4 mx = 2.5 m
Mx = kN·m
7.梁的挠度中等
w = 2 kN/mδL = 5 m

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 2 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
P = 20 kNP = 20 kNABδ2 m2 m2 m

简支梁在三分点处（距每个支座 L/3）承受两个相等的集中荷载 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。

P = 20 kNL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 1 md = 20 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 1 mE = 70 GPa (铝)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 20 kNL = 3 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 20 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 20 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.形心和惯性矩中等
1601520014x尺寸单位为 mm

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。

bf = 160 mmtf = 15 mmtw = 14 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
2601010012xM = 10 kN·m尺寸单位为 mm

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 10 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。

bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 12 mmhw = 100 mmM = 10 kN·m
σ顶部 = MPa
13.土中有效应力中等
砂γd​ = 17 kN/m³γsat​ = 20.5 kN/m³7 m地下水位Xz = 6 m

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 6 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 17 kN/m³砂: γsat = 20.5 kN/m³
u = kPa
14.土中有效应力困难
砂γd​ = 16 kN/m³γsat​ = 19 kN/m³6 m黏土γsat​ = 17 kN/m³7 m地下水位Xz = 9.5 m

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 9.5 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 19 kN/m³黏土: γsat = 17 kN/m³
σ′ = kPa
15.固结沉降中等
Δσ = 190 kPa砂黏土Cc​ = 0.25, Cr​ = 0.05e0​ = 0.9σ′0​ = 95 kPaOCR = 26 m地下水位

一层厚 6 m 的超固结黏土，Cc = 0.25，Cr = 0.05，e₀ = 0.9。其中点深度处的竖向有效应力为 95 kPa ，超固结比 OCR = 2。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 190 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 6 mCc = 0.25Cr = 0.05e0 = 0.9σ′0 = 95 kPaOCR = 2Δσ = 190 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
砂黏土H = 7.5 m7.5 m不透水岩层地下水位

在室内固结仪试验中，一个厚 19 mm、上下两面排水的黏土试样在 15 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 7.5 m 的土层。 它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。 现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

hlab = 19 mmtlab = 15 minH = 7.5 m现场：单面排水
t = 天
17.静水压力中等
闸门d = 1.5 mH = 1.5 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
闸门d = 2.5 mH = 3 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管道摩擦与水头损失中等
V = 2.3 m/sD = 50 mmL = 400 mf = 0.03

水以 2.3 m/s 的平均流速流过一根长 400 m、内径 50 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

V = 2.3 m/sL = 400 mD = 50 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管道摩擦与水头损失困难
K = 2Δz = ?L = 200 m, D = 150 mm, f = 0.0154× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 30 L/s？

Q = 30 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Δz = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
b = 3 my = 1.5 mn = 0.03, S = 0.001

一条矩形植草土渠渠道宽 3 m。水以 1.5 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.03，底坡 S = 0.001。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 3 my = 1.5 mn = 0.03S = 0.001
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
b = 3 my = 1.1 m3 : 1n = 0.025, Q = 12 m³/s

一条底宽 3 m、边坡 3:1（水平:竖直）的梯形砾石渠道 须以 1.1 m 的水深均匀输送 12 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.025。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 12 m³/sb = 3 my = 1.1 mz = 3n = 0.025
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
PQ = 80 L/sH = 26 m

一台效率为 60% 的水泵以 26 m 的扬程输送 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 80 L/sH = 26 mη = 60%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
24.水泵与泵功率困难
PQ = 120 L/sΔz = 29 mL = 200 m, D = 250 mm, f = 0.022, ΣK = 6

一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 29 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 65%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 120 L/sΔz = 29 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.022ΣK = 6η = 65%
Pshaft = kW
25.货币的时间价值中等
年012PV = ?€20 000

你在 2 年后需要 €20 000。某账户年利率 5%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €20 0005% / 4n = 2
PV = €
26.货币的时间价值困难
月0123…60€50€50€50FV = ?

你在 5 年内每月月末存入 €50。账户年利率 4.8%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €504.8% / 12N = 60
FV = €
27.NPV 与 IRR中等
年0123…10€20 000€1 000€1 000€1 000€1 000r = 10%, EAC = ?

一台机器今天花费 €20 000，使用 10 年，每年运行费用为 €1 000（每年年末支付）。资本成本为 10%。求其等值年成本 EAC。

C0 = €20 000M = €1 000n = 10r = 10%
EAC = €
28.NPV 与 IRR困难
年0123−40 00015 00015 00015 000

一笔 €40 000 的投资在 3 年内每年年末回报 €15 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C0 = €40 000CF = €15 000n = 3
IRR = %
29.正态分布中等
200 mm201 mmX + Y?

X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 201 mm 的概率 P。z 取两位小数。

μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 201 mm
P =
30.正态分布困难
μ = 500x = ?90%

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 90%
x = h

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RA = 16.67 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣMA = 0: RB·3 = 80·1.5 + 70·4
RB = 400/3 = 133.3 kN

竖向平衡

RA = 80 + 70 − 133.3 = 16.67 kN

答案

RA = 16.67 kN
2.梁的支座反力

答案: RD = 15 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。 中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

ΣMC = 0: RD·6 = 30·3
RD = 15 kN
VC = 30 − 15 = 15 kN

答案

RD = 15 kN
3.桁架：节点法

答案: FAB = −7.071 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·5 = 25·4 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 20 = 5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/5.657 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −5/0.7071 = −7.071 kN

答案

FAB = −7.071 kN (受压)
4.桁架：节点法

答案: FAB = −36.08 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB50 kN10 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 50·1 + 10·4 → Cy = 15 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 15 = 35 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/4.123 = 0.9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −35/0.9701 = −36.08 kN

答案

FAB = −36.08 kN (受压)
5.剪力和弯矩

答案: Mx = 21 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 8·5·2.5
RB = 100/5 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 20RB​ = 20截面3.5 m1.5 m

在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 20·3.5 − 8·3.5·1.75 = 21 kN·m

答案

Mx = 21 kN·m
6.剪力和弯矩

答案: Mx = 30 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·2.5 + 6·4·2
RB = 98/4 = 24.5 kN
ΣFy = 0: RA = 44 − 24.5 = 19.5 kN
w = 6 kN/mP = 20 kNABRA​ = 19.5RB​ = 24.5截面2.5 m1.5 m

在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 19.5·2.5 − 6·2.5·1.25 = 30 kN·m

答案

Mx = 30 kN·m
7.梁的挠度

答案: δ = 65.1 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 5000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 2·5000⁴/(8·2.4 × 10¹²) = 65.1 mm

答案

δ = 65.1 mm
8.梁的挠度

答案: δmax = 18.25 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 20000 N, L = 6000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

一个荷载位于 L/3 处

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm
δ₁ = 9.127 mm

两个荷载相加

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 18.25 mm

答案

δmax = 18.25 mm
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 5.426 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

计算长度

KL = 1·1000 = 1000 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1000² = 5426 N = 5.426 kN

答案

Pcr = 5.426 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 48.59 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 3·20000 = 60000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 48.59 mm

答案

d = 48.59 mm

校核：长细比 KL/r 为 247，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: Ix = 24.31 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 160·15 = 2400 mm², yf = 200 + 15/2 = 207.5 mm
腹板: Aw = 14·200 = 2800 mm², yw = 200/2 = 100 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·207.5 + 2800·100)/5200 = 149.6 mm

平行移轴定理

翼缘: 160·15³/12 + 2400·(207.5 − 149.6)² = 8.087 × 10⁶ mm⁴
腹板: 14·200³/12 + 2800·(100 − 149.6)² = 1.623 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8.087 × 10⁶ + 1.623 × 10⁷ = 2.431 × 10⁷ mm⁴ = 24.31 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 24.31 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩

答案: σ顶部 = 63.81 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 100 + 10/2 = 105 mm
腹板: Aw = 12·100 = 1200 mm², yw = 100/2 = 50 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·105 + 1200·50)/3800 = 87.63 mm

平行移轴定理

翼缘: 260·10³/12 + 2600·(105 − 87.63)² = 805988 mm⁴
腹板: 12·100³/12 + 1200·(50 − 87.63)² = 2.699 × 10⁶ mm⁴
Ix = 805988 + 2.699 × 10⁶ = 3.505 × 10⁶ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 110 − 87.63 = 22.37 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·22.37/3.505 × 10⁶ = 63.81 MPa

答案

σ顶部 = 63.81 MPa
13.土中有效应力

答案: u = 49.05 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γw·(z − zw) = 9.81·5 = 49.05 kPa

答案

u = 49.05 kPa
14.土中有效应力

答案: σ′ = 87.11 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γd·1 + γsat,sand·5 + γsat,clay·3.5
σ = 16·1 + 19·5 + 17·3.5 = 170.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γw·(z − zw) = 9.81·8.5 = 83.39 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 170.5 − 83.39 = 87.11 kPa

答案

σ′ = 87.11 kPa
15.固结沉降

答案: S = 186.6 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′p = OCR·σ′0 = 2·95 = 190 kPa

与先期固结压力比较

σ′f = 95 + 190 = 285 kPa > 190 kPa

沉降

σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.05·6/(1 + 0.9)·log₁₀(190/95) + 0.25·6/(1 + 0.9)·log₁₀(285/190)
S = 47.53 + 139 = 186.6 mm

答案

S = 186.6 mm
16.固结沉降

答案: t = 6492 天

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

排水路径

Hdr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m
Hdr,field = 7.5 m

换算时间

t = Tv·Hdr²/cv，室内和现场的 T_v 和 cv 相同。

tfield = 15·(7.5/0.0095)² = 9.349 × 10⁶ min
tfield = 9.349 × 10⁶/1440 = 6492 天

答案

t = 6492 天
17.静水压力

答案: F = 66.22 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
闸门d = 1.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.25·3 = 66.22 kN

答案

F = 66.22 kN
18.静水压力

答案: F = 181 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
闸门d = 2.5 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·4·4.5 = 181 kN

答案

F = 181 kN
19.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 64.71 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2.3²/(2·9.81) = 0.2696 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(400/0.05)·2.3²/(2·9.81) = 64.71 m

答案

hf = 64.71 m
20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 3.628 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.03/0.01767 = 1.698 m/s
V²/(2g) = 0.1469 m

损失系数

f·L/D = 0.015·200/0.15 = 20
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7

总水头损失

hf = 20·0.1469 = 2.938 m
hm = 4.7·0.1469 = 0.6904 m
Δz = hf + hm = 3.628 m

答案

Δz = 3.628 m
21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 3.916 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 3·1.5 = 4.5 m²
P = b + 2y = 3 + 2·1.5 = 6 m
R = A/P = 0.75 m

速度

V = (1/0.03)·0.752/3·0.0011/2 = 0.8701 m/s

流量

Q = A·V = 4.5·0.8701 = 3.916 m³/s

答案

Q = 3.916 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.003038 m/m

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3 + 3·1.1)·1.1 = 6.93 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1.1·√(1 + 3²) = 9.957 m
R = A/P = 0.696 m

由曼宁公式解 S

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.025·12/(6.93·0.7854) = 0.05512
S = 0.05512² = 0.003038

答案

S = 0.003038

即每千米下降 3.038 m。

23.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 34.01 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·26 = 20.4 kW

轴功率

Pshaft = Ph/η = 20.4/0.6 = 34.01 kW

答案

Pshaft = 34.01 kW
24.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 65.54 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (17.6 + 6)·0.3046 = 7.188 m

泵扬程

H = Δz + hL = 29 + 7.188 = 36.19 m

轴功率

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.12·36.19/0.65 = 65.54 kW

答案

Pshaft = 65.54 kW
25.货币的时间价值

答案: PV = 18108 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.05/4 = 0.0125
N = 4·2 = 8

现值

PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1.104 = €18 107.97

答案

PV = €18 107.97
26.货币的时间价值

答案: FV = 3383 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月利率和存款次数

i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·5 = 60

存款的终值

FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 50·(1.271 − 1)/0.004 = €3 383.01

答案

FV = €3 383.01

你自己存入了 €3 000；其余是利息。

27.NPV 与 IRR

答案: EAC = 4255 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.1−10)/0.1 = 6.145

年化购置价格

20 000/6.145 = 3 254.91

EAC

EAC = 3 254.91 + 1 000 = €4 254.91

答案

EAC = €4 254.91
28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 6.129 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

所需的年金系数

(1 − (1 + i)−3)/i = 40 000/15 000 = 2.667

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 6%: 2.673
i = 7%: 2.624
IRR = 6.129%

答案

IRR = 6.129%
29.正态分布

答案: P = 0.02275

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

标准化

z = (201 − 200)/0.5 = 2

上尾

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275

答案

P = 0.02275
30.正态分布

答案: x = 551.3 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

换算回 x

x = 500 + 1.282·40 = 551.26 h

答案

x = 551.26 h

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