FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 2 m 承受均布荷载 w，并在距墙 3 m 处承受集中荷载 P。求墙处的竖向反力 R_A。

L = 5 mP = 70 kN 位于 3 mw = 2 kN/m，从 0 到 2 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 3 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 0.5 m 处承受集中荷载 P，并从 2.5 m 到位于 4 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 3 mAC = 4 mP = 45 kN 位于 0.5 mw = 6 kN/m，从 2.5 到 4 m

R_A = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 30 kN ↓G: 25 kN ↓H: 10 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

4.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 30 kN ←

F_BC = kN

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

60 kN @ 6 m6 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 8 mP = 70 kN 位于 5 mw = 8 kN/m，从 0 到 8 m

M_max = kN·m

7.梁的挠度中等

简支梁在距支座 A 为 a = 3.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 9 kNa = 3.5 mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 6 kNw = 10 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 65 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 65 kNn = 2.5L = 5 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

对称工字形截面的翼缘宽 250 mm、厚 20 mm，总高度 440 mm，腹板厚 10 mm。截面承受绕 x 轴的弯矩 80 kN·m。求截面中最大弯曲应力 σ_max 的大小。

B = 250 mmH = 440 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmM = 80 kN·m

σ_max = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 3 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 9 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³黏土: γ_sat = 17 kN/m³

σ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 6 m 的超固结黏土，C_c = 0.45，C_r = 0.06，e₀ = 0.85。其中点深度处的竖向有效应力为 90 kPa ，超固结比 OCR = 3。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 120 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 6 mC_c = 0.45C_r = 0.06e₀ = 0.85σ′₀ = 90 kPaOCR = 3Δσ = 120 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

在室内固结仪试验中，一个厚 19 mm、上下两面排水的黏土试样在 6 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 8 m 的土层。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

h_lab = 19 mmt_lab = 6 minH = 8 m现场：单面排水

t = 天

17.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 3 m/s 的平均流速流过一根长 150 m、内径 150 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 3 m/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

一根长 100 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.018）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 10）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 50 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 50 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 10

H = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形砖砌渠道底宽 4.5 m，边坡 1.5:1（水平:竖直）。水以 1.4 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.015，底坡 S = 0.005。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 4.5 my = 1.4 mz = 1.5n = 0.015S = 0.005

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 375 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.75 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 375 mmn = 0.013V = 0.75 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台效率为 75% 的水泵以 68 m 的扬程输送 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 50 L/sH = 68 mη = 75%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 27 m 的上游水箱。管道长 500 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 200 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 120 L/sΔz = 27 mL = 500 mD = 250 mmf = 0.022ΣK = 8p_tank = 200 kPa

H = m

25.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €2 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2.5%。要求回报率为每年 7.5%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €2 000g = 2.5%r = 7.5%

PV = €

26.货币的时间价值困难

你在 21 年内每月月末存入 €500。账户年利率 6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5006% / 12N = 252

FV = €

27.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €40 000，在 6 年内每年年末回报 €11 500。资本成本为 5%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 5%CF₀ = −40 000CF₁ = 11 500CF₂ = 11 500CF₃ = 11 500CF₄ = 11 500CF₅ = 11 500CF₆ = 11 500

DPB = 年

28.NPV 与 IRR困难

一笔 €50 000 的投资在 5 年内每年年末回报 €12 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €50 000CF = €12 000n = 5

IRR = %

29.正态分布中等

水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 6 个的总质量超过 148.2 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 6> 148.2 kg

P =

30.正态分布困难

一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 74 kN

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 2·2 = 4 kN, x̄ = 1 m

竖向平衡

R_A = P + W = 70 + 4 = 74 kN

答案

R_A = 74 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 36.75 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 6·1.5 = 9 kN, x̄ = (2.5 + 4)/2 = 3.25 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·3 = 45·0.5 + 9·3.25

R_B = 51.75/3 = 17.25 kN

R_A = 54 − 17.25 = 36.75 kN

答案

R_A = 36.75 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 16.88 kN (T), BC: 16.88 kN (T), CD: 31.87 kN (T), DE: 31.87 kN (T), FG: 33.75 kN (C), GH: 33.75 kN (C), AF: 28.13 kN (C), HE: 53.12 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 28.13 kN (T), HC: 3.125 kN (T)

答案

零杆: BF

4.桁架：节点法

答案: F_BC = 15.71 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·1 − 30·2 → C_y = −5.833 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − −5.833 = 30.83 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−5.833/0.3714 = 15.71 kN

答案

F_BC = 15.71 kN (受拉)

5.剪力和弯矩

答案: D (x = 6 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 66 kN, R₂ = 66 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 120, M_C = 216, M_D = 288 kN·m, M_E = 216, M_F = 120, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 288 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 191.3 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 70·5 + 8·8·4

R_B = 606/8 = 75.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 134 − 75.75 = 58.25 kN

V = 0 在哪里？

V(5⁻) = R_A − w·5 = 18.25 kN

V(5⁺) = 18.25 − 70 = −51.75 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 58.25·5 − 8·5²/2 = 191.3 kN·m

答案

M_max = 191.3 kN·m

它出现在距 A 为 x = 5 m 处。

7.梁的挠度

答案: δ_P = 64.34 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 9000 N, a = 3500 mm, b = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 9000·3500²·2500²/(3·5.95 × 10¹¹·6000) = 64.34 mm

答案

δ_P = 64.34 mm

8.梁的挠度

答案: δ_max = 15.07 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 6000 N, w = 10 N/mm, L = 3000 mm, EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 6000·3000³/(48·9.24 × 10¹¹) = 3.653 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 11.41 mm

相加

δ_max = 3.653 + 11.41 = 15.07 mm

答案

δ_max = 15.07 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 24.22 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

计算长度

KL = 1·5000 = 5000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/5000² = 24224 N = 24.22 kN

答案

P_cr = 24.22 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 87.53 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2.5·65000 = 162500 N

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 87.53 mm

答案

d = 87.53 mm

校核：长细比 KL/r 为 159.9，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 25.16 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

腹板: A_w = 14·220 = 3080 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·225 + 3080·110)/4480 = 145.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 140·10³/12 + 1400·(225 − 145.9)² = 8.763 × 10⁶ mm⁴

腹板: 14·220³/12 + 3080·(110 − 145.9)² = 1.64 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.763 × 10⁶ + 1.64 × 10⁷ = 2.516 × 10⁷ mm⁴ = 25.16 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 25.16 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_max = 35.58 MPa

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 440 − 2·20 = 400 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (250·440³ − 240·400³)/12

I_x = 4.947 × 10⁸ mm⁴

弯曲应力

y = 220 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·220/4.947 × 10⁸ = 35.58 MPa

答案

σ_max = 35.58 MPa

13.土中有效应力

答案: σ′ = 43.19 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·2 + 19·1 = 53 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·1 = 9.81 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 53 − 9.81 = 43.19 kPa

答案

σ′ = 43.19 kPa

14.土中有效应力

答案: σ = 160.5 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·4

σ = 15.5·2 + 20.5·3 + 17·4 = 160.5 kPa

答案

σ = 160.5 kPa

15.固结沉降

答案: S = 71.61 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·90 = 270 kPa

与先期固结压力比较

σ′_f = 90 + 120 = 210 kPa ≤ 270 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.06·6/(1 + 0.85)·log₁₀(210/90) = 71.61 mm

答案

S = 71.61 mm

16.固结沉降

答案: t = 2955 天

排水路径

H_dr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m

H_dr,field = 8 m

换算时间

t = T_v·H_dr²/c_v，室内和现场的 T_v 和 c_v 相同。

t_field = 6·(8/0.0095)² = 4.255 × 10⁶ min

t_field = 4.255 × 10⁶/1440 = 2955 天

答案

t = 2955 天

17.静水压力

答案: F = 147.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·6 = 147.2 kN

答案

F = 147.2 kN

18.静水压力

答案: F = 85.84 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·5 = 85.84 kN

答案

F = 85.84 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 12.84 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 3²/(2·9.81) = 0.4587 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(150/0.15)·3²/(2·9.81) = 12.84 m

答案

h_f = 12.84 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: H = 1.036 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.04909 = 1.019 m/s

V²/(2g) = 0.05288 m

损失系数

f·L/D = 0.018·100/0.25 = 7.2

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 = 11.4

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 7.2 + 11.4)·0.05288 = 1.036 m

答案

H = 1.036 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 42.62 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (4.5 + 1.5·1.4)·1.4 = 9.24 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4.5 + 2·1.4·√(1 + 1.5²) = 9.548 m

R = A/P = 0.9678 m

速度

V = (1/0.015)·0.9678^2/3·0.005^1/2 = 4.612 m/s

流量

Q = A·V = 9.24·4.612 = 42.62 m³/s

答案

Q = 42.62 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.002232 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.375/4 = 0.09375 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.75/0.2064)² = 0.002232

答案

S = 0.002232

即每千米下降 2.232 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 44.47 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·68 = 33.35 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 33.35/0.75 = 44.47 kW

答案

P_shaft = 44.47 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 63.23 m

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 8)·0.3046 = 15.84 m

压力水头

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9.81) = 20.39 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 27 + 20.39 + 15.84 = 63.23 m

答案

H = 63.23 m

25.货币的时间价值

答案: PV = 40000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0.075 − 0.025) = 2 000/0.05 = €40 000.00

答案

PV = €40 000.00

26.货币的时间价值

答案: FV = 251437 €

月利率和存款次数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·21 = 252

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(3.514 − 1)/0.005 = €251 437.06

答案

FV = €251 437.06

你自己存入了 €126 000；其余是利息。

27.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.918 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 11 500/1.05 = 10 952.38 → Σ = 10 952.38

年份 2: 11 500/1.103 = 10 430.84 → Σ = 21 383.22

年份 3: 11 500/1.158 = 9 934.13 → Σ = 31 317.35

年份 4: 11 500/1.216 = 9 461.08 → Σ = 40 778.43

最后一年的分数

DPB = 3 + 8 682.65/9 461.08 = 3.918

答案

DPB = 3.918 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.478 年）。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 6.402 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁵)/i = 50 000/12 000 = 4.167

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 6%: 4.212

i = 7%: 4.1

IRR = 6.402%

答案

IRR = 6.402%

29.正态分布

答案: P = 0.9292

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 150 kg, σ_T = 0.5·√6 = 1.225 kg

标准化

z = (148.2 − 150)/1.225 = −1.47

概率

P = 1 − Φ(−1.47) = 0.9292

答案

P = 0.9292

30.正态分布

答案: P = 0.7389

差的分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

标准化

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

概率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答案

P = 0.7389

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