FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 4.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 4.5 mAC = 6 mP₁ = 45 kN 位于 1.5 mP₂ = 25 kN 位于 6 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP = 50 kN 位于 1 mw = 10 kN/m，从 3 到 5 m

R_B = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 15 kN ↓F: 10 kN ↓G: 35 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

4.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 50 kN水平荷载 = 15 kN →

F_AC = kN

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 12 kN/m，从 0 到 4 mx = 0.5 m

V_x = kN

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 10 kN 位于 6 mw = 3 kN/m，从 0 到 10 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。求固定端弯矩 M_A 的大小。

L = 6 mP = 30 kN 位于 3 m

M_A = kN·m

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 110 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 110 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

11.形心和惯性矩中等

对称工字形截面的翼缘宽 220 mm、厚 22 mm，总高度 420 mm，腹板厚 10 mm。求其绕水平形心轴 x 弯曲时的弹性抗弯截面系数 S_x。

B = 220 mmH = 420 mmt_f = 22 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

12.形心和惯性矩困难

焊接工字形截面的上翼缘为 110 × 16 mm，腹板高 390 mm、厚 12 mm，下翼缘为 230 × 20 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

上翼缘: 110 × 16 mm腹板: 12 × 390 mm下翼缘: 230 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 3 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

u = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 10 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³黏土: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 3 m 的超固结黏土，C_c = 0.5，C_r = 0.06，e₀ = 0.95。其中点深度处的竖向有效应力为 50 kPa ，先期固结压力为 110 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 35 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 3 mC_c = 0.5C_r = 0.06e₀ = 0.95σ′₀ = 50 kPaσ′_p = 110 kPaΔσ = 35 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

在室内固结仪试验中，一个厚 20 mm、上下两面排水的黏土试样在 10 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 8 m 的土层。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

h_lab = 20 mmt_lab = 10 minH = 8 m现场：双面排水

t = 天

17.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 0.8 m/s 的速度流过一根长 500 m、内径 75 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 0.8 m/sL = 500 mD = 75 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 39 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 39 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1.0

Q = L/s

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条矩形砾石渠道宽 2.5 m。水以 1.1 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.025，底坡 S = 0.001。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 2.5 my = 1.1 mn = 0.025S = 0.001

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 450 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.6 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 450 mmn = 0.013V = 0.6 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台水泵以 74 m 的扬程输送 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 60%，驱动它的电动机效率为 90%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 40 L/sH = 74 mη_pump = 60%η_motor = 90%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 8 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 40 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.025ΣK = 5

H = m

25.货币的时间价值中等

你以名义年利率 2% 投资 €2 000，按月复利。求 9 年后的投资价值 FV。

PV = €2 0002% / 12n = 9

FV = €

26.货币的时间价值困难

一笔 €25 000 的贷款在 4 年内按月等额偿还，年利率 3.6%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €25 0003.6% / 12N = 48

I = €

27.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€30 000, €31 000, €33 000, €22 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

r = 6%CF₀ = −75 000CF₁ = 30 000CF₂ = 31 000CF₃ = 33 000CF₄ = 22 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €25 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €9 500, €14 500, €13 000。现金流可按 8% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 8%CF₀ = −25 000CF₁ = 9 500CF₂ = 14 500CF₃ = 13 000

MIRR = %

29.正态分布中等

X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 110.1 s 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 110.1 s

P =

30.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 90%

x = 分

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 48.33 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·4.5 = 45·1.5 + 25·6

R_B = 217.5/4.5 = 48.33 kN

竖向平衡

R_A = 45 + 25 − 48.33 = 21.67 kN

答案

R_B = 48.33 kN

2.梁的支座反力

答案: R_B = 26 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1 + 10·2·4

R_B = 130/5 = 26 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 26 = 44 kN

答案

R_B = 26 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 27.19 kN (T), BC: 27.19 kN (T), CD: 17.81 kN (T), DE: 17.81 kN (T), FG: 35.62 kN (C), GH: 35.62 kN (C), AF: 45.31 kN (C), HE: 29.69 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 14.06 kN (T), HC: 29.69 kN (T)

答案

零杆: DH

4.桁架：节点法

答案: F_AC = 23.33 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·5 + 15·2 → C_y = 46.67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 46.67 = 3.333 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −46.67/0.8944 = −52.17 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−52.17)·0.4472 = 23.33 kN

答案

F_AC = 23.33 kN (受拉)

5.剪力和弯矩

答案: V_x = 18 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 24 − 12·0.5 = 18 kN

答案

V_x = 18 kN

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 38.13 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·6 + 3·10·5

R_B = 210/10 = 21 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 21 = 19 kN

在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 19·2.5 − 3·2.5·1.25 = 38.13 kN·m

答案

M_x = 38.13 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ_max = 1.413 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 1.413 mm

答案

δ_max = 1.413 mm

8.梁的挠度

答案: M_A = 33.75 kN·m

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·30/16 = 9.375 kN

固定端的弯矩

荷载和支撑力对 A 取矩。

M_A = P·L/2 − R_B·L = 90 − 56.25 = 33.75 kN·m

答案

M_A = 33.75 kN·m

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 347.3 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

计算长度

KL = 2·1000 = 2000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347.3 kN

答案

P_cr = 347.3 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 88.04 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 3·110000 = 330000 N

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·330000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 88.04 mm

答案

d = 88.04 mm

校核：长细比 KL/r 为 190.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: S_x = 2038 × 10³ mm³

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 420 − 2·22 = 376 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·420³ − 210·376³)/12

I_x = 4.28 × 10⁸ mm⁴

抗弯截面系数

c = H/2 = 210 mm

S_x = I/c = 4.28 × 10⁸/210

S_x = 2.038 × 10⁶ mm³ = 2038 × 10³ mm³

答案

S_x = 2038 × 10³ mm³

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 294.3 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成三个矩形

每个 y 都从底边量起。

上翼缘: A = 1760 mm², y = 418 mm

腹板: A = 4680 mm², y = 215 mm

下翼缘: A = 4600 mm², y = 10 mm

形心

ȳ = (1760·418 + 4680·215 + 4600·10)/11040 = 161.9 mm

平行移轴定理

上翼缘: 110·16³/12 + 1760·256.1² = 1.154 × 10⁸ mm⁴

腹板: 12·390³/12 + 4680·53.05² = 7.249 × 10⁷ mm⁴

下翼缘: 230·20³/12 + 4600·151.9² = 1.064 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1.154 × 10⁸ + 7.249 × 10⁷ + 1.064 × 10⁸

I_x = 2.943 × 10⁸ mm⁴ = 294.3 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 294.3 × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力

答案: u = 19.62 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·2 = 19.62 kPa

答案

u = 19.62 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 119.1 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·4

σ = 16·4 + 20·2 + 18.5·4 = 178 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 178 − 58.86 = 119.1 kPa

答案

σ′ = 119.1 kPa

15.固结沉降

答案: S = 21.27 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 50 + 35 = 85 kPa ≤ 110 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.06·3/(1 + 0.95)·log₁₀(85/50) = 21.27 mm

答案

S = 21.27 mm

16.固结沉降

答案: t = 1111 天

排水路径

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0.01 m

H_dr,field = 8/2 = 4 m

换算时间

t = T_v·H_dr²/c_v，室内和现场的 T_v 和 c_v 相同。

t_field = 10·(4/0.01)² = 1.6 × 10⁶ min

t_field = 1.6 × 10⁶/1440 = 1111 天

答案

t = 1111 天

17.静水压力

答案: F = 128.8 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·7.5 = 128.8 kN

答案

F = 128.8 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 2.818 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.75·2.25 = 53.42 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.75 + 0.4219/(2.75·2.25) = 2.818 m

答案

y_cp = 2.818 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 53.33 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(500/0.075)·0.8²/(2·9.81) = 5.437 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·5.437 = 53333 Pa = 53.33 kPa

答案

Δp = 53.33 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 147.5 L/s

损失系数

f·L/D = 0.022·200/0.2 = 22

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

39 = (22 + 12.7)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·39/34.7) = 4.696 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 4.696·0.03142 = 0.1475 m³/s = 147.5 L/s

答案

Q = 147.5 L/s

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 2.433 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 2.5·1.1 = 2.75 m²

P = b + 2y = 2.5 + 2·1.1 = 4.7 m

R = A/P = 0.5851 m

速度

V = (1/0.025)·0.5851^2/3·0.001^1/2 = 0.8849 m/s

流量

Q = A·V = 2.75·0.8849 = 2.433 m³/s

答案

Q = 2.433 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.00112 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.45/4 = 0.1125 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.6/0.233)² = 0.00112

答案

S = 0.00112

即每千米下降 1.12 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_el = 53.77 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·74 = 29.04 kW

轴功率

P_shaft = 29.04/0.6 = 48.4 kW

电功率

P_el = 48.4/0.9 = 53.77 kW

答案

P_el = 53.77 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 13.66 m

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16.67 + 5)·0.2611 = 5.658 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 8 + 5.658 = 13.66 m

答案

H = 13.66 m

25.货币的时间价值

答案: FV = 2394 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.02/12 = 0.001667

N = m·n = 12·9 = 108

终值

FV = 2 000·(1 + 0.001667)¹⁰⁸ = 2 000·1.197 = €2 394.08

答案

FV = €2 394.08

26.货币的时间价值

答案: I = 1881 €

月供

i = 0.003, N = 48

A = 25 000·0.003/(1 − (1 + 0.003)⁻⁴⁸) = €560.01

利息总额

I = N·A − P = 48·560 − 25 000 = €1 880.60

答案

I = €1 880.60

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 26025 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 30 000/1.06 = 28 301.89

CF₂/(1 + 0.06)² = 31 000/1.124 = 27 589.89

CF₃/(1 + 0.06)³ = 33 000/1.191 = 27 707.44

CF₄/(1 + 0.06)⁴ = 22 000/1.262 = 17 426.06

相加

NPV = €26 025.27

答案

NPV = €26 025.27

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 16.71 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

9 500·1.08² = 11 080.80

14 500·1.08¹ = 15 660.00

13 000·1.08⁰ = 13 000.00

TV = 39 740.80

MIRR

MIRR = (39 740.80/25 000)^1/3 − 1 = 16.71%

答案

MIRR = 16.71%

29.正态分布

答案: P = 0.2119

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

标准化

z = (110.1 − 105)/6.403 = 0.8

上尾

P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119

答案

P = 0.2119

30.正态分布

答案: x = 119.2 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

换算回 x

x = 100 + 1.282·15 = 119.22 分

答案

x = 119.22 分

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