FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mP₁ = 15 kN 位于 2 mP₂ = 40 kN 位于 6 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 10 mP = 20 kN 位于 6 mw = 5 kN/m，从 4 到 6 m

R_B = kN

3.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 35 kN

F_BC = kN

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 10 kN ↓F: 15 kN ↓F: 10 kN →G: 10 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 2 kN/m，从 0 到 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

40 kN @ 0 m25 kN @ 12 m60 kN @ 4 m10 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.梁的挠度中等

简支梁在距支座 A 为 a = 4 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 26 kNa = 4 mL = 5 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 10 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (钢)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

圆管外径 D = 210 mm，内径 d = 190 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

D = 210 mmd = 190 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 5 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mmM = 5 kN·m

σ_顶部 = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

u = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³黏土: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 2 m 的超固结黏土，C_c = 0.4，C_r = 0.02，e₀ = 0.7。其中点深度处的竖向有效应力为 80 kPa ，超固结比 OCR = 1.5。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 200 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 2 mC_c = 0.4C_r = 0.02e₀ = 0.7σ′₀ = 80 kPaOCR = 1.5Δσ = 200 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 8.5 m 的黏土，固结系数 c_v = 3 m²/year。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。平均固结度为 90% 时，时间因数 T_v = 0.848。该土层需要多少年 t 才能达到 90% 固结度？

H = 8.5 mc_v = 3 m²/年份U = 90%T_v = 0.848双面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 4 L/s 的流量流过一根长 100 m、内径 75 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 4 L/sL = 100 mD = 75 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

一根长 300 m、内径 300 mm（达西摩擦系数 f = 0.02）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 75 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 75 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 2

H = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形抹面混凝土渠道底宽 3.5 m，边坡 1.5:1（水平:竖直）。水以 1.4 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.012，底坡 S = 0.0008。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 3.5 my = 1.4 mz = 1.5n = 0.012S = 0.0008

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 450 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.75 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 450 mmn = 0.013V = 0.75 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台效率为 82% 的水泵以 14 m 的扬程输送 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 15 L/sH = 14 mη = 82%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 6 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 400 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 20 L/sΔz = 6 mL = 400 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 8p_tank = 400 kPa

H = m

25.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €5 000，共 7 年。年利率为 3%。求该年金的现值 PV。

A = €5 000i = 3%n = 7

PV = €

26.货币的时间价值困难

你以每年 5.4% 的利率借入 €8 000，按月复利，每月月末偿还 €125。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €8 000A = €1255.4% / 12

N = 次还款

27.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €40 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €11 000, €13 500, €14 500, €16 500。资本成本为 10%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 10%CF₀ = −40 000CF₁ = 11 000CF₂ = 13 500CF₃ = 14 500CF₄ = 16 500

DPB = 年

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €6 000, €5 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 5 000

IRR = %

29.正态分布中等

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 30.2 和 44 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 32σ = 6x₁ = 30.2x₂ = 44

P =

30.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 90%

x = 分

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 33.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·2 + 40·6

R_B = 270/8 = 33.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 33.75 = 21.25 kN

答案

R_B = 33.75 kN

2.梁的支座反力

答案: R_B = 17 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·6 + 5·2·5

R_B = 170/10 = 17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 17 = 13 kN

答案

R_B = 17 kN

3.桁架：节点法

答案: F_BC = −12.37 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·1 → C_y = 8.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 8.75 = 26.25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8.75/0.7071 = −12.37 kN

答案

F_BC = −12.37 kN (受压)

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 21.56 kN (T), BC: 21.87 kN (T), CD: 21.87 kN (T), DE: 14.69 kN (T), FG: 21.56 kN (C), GH: 14.69 kN (C), AF: 19.27 kN (C), HE: 24.48 kN (C), BF: 0.4167 kN (T), CG: 0, DH: 19.58 kN (T), BG: 0.5208 kN (C), DG: 11.98 kN (C)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 4 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 4·2 − 2·2·1 = 4 kN·m

答案

M_x = 4 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 106.7 kN, R₂ = 78.33 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −80, M_C = 33.33, M_D = −13.33, M_E = −100 kN·m, M_F = −50, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −100 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ_P = 2.476 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 26000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 26000·4000²·1000²/(3·1.12 × 10¹³·5000) = 2.476 mm

答案

δ_P = 2.476 mm

8.梁的挠度

答案: I_req = 120 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·8000⁴/(384·200000·22.22) = 1.2 × 10⁸ mm⁴

I_req = 120 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 120 × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 640.7 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/1400² = 640691 N = 640.7 kN

答案

P_cr = 640.7 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 47.98 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

回转半径和长细比

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/6.25 = 120

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47.98 MPa

答案

σ_cr = 47.98 MPa

11.形心和惯性矩

答案: r = 70.8 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

A = π(D² − d²)/4 = 6283 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3.149 × 10⁷ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(3.149 × 10⁷/6283) = 70.8 mm

答案

r = 70.8 mm

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 19.21 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

腹板: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·115 + 1400·50)/8600 = 104.4 mm

平行移轴定理

翼缘: 240·30³/12 + 7200·(115 − 104.4)² = 1.346 × 10⁶ mm⁴

腹板: 14·100³/12 + 1400·(50 − 104.4)² = 5.313 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.346 × 10⁶ + 5.313 × 10⁶ = 6.659 × 10⁶ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 130 − 104.4 = 25.58 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·25.58/6.659 × 10⁶ = 19.21 MPa

答案

σ_顶部 = 19.21 MPa

13.土中有效应力

答案: u = 29.43 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

答案

u = 29.43 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 87.14 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·4 + γ_sat,clay·2

σ = 15·2 + 20.5·4 + 17·2 = 146 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 146 − 58.86 = 87.14 kPa

答案

σ′ = 87.14 kPa

15.固结沉降

答案: S = 177.3 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1.5·80 = 120 kPa

与先期固结压力比较

σ′_f = 80 + 200 = 280 kPa > 120 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.02·2/(1 + 0.7)·log₁₀(120/80) + 0.4·2/(1 + 0.7)·log₁₀(280/120)

S = 4.143 + 173.2 = 177.3 mm

答案

S = 177.3 mm

16.固结沉降

答案: t = 5.106 年

排水路径

H_dr = H/2 = 8.5/2 = 4.25 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.848·4.25²/3 = 5.106 年

答案

t = 5.106 年

17.静水压力

答案: F = 147.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5·3 = 147.2 kN

答案

F = 147.2 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 2.939 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.75·2.5 = 69.13 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.75 + 1.302/(2.75·2.5) = 2.939 m

答案

y_cp = 2.939 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 1.671 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²

V = Q/A = 0.004/0.004418 = 0.9054 m/s

速度水头

V²/(2g) = 0.9054²/(2·9.81) = 0.04178 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(100/0.075)·0.9054²/(2·9.81) = 1.671 m

答案

h_f = 1.671 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: H = 1.383 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s

V²/(2g) = 0.05738 m

损失系数

f·L/D = 0.02·300/0.3 = 20

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 = 3.1

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 20 + 3.1)·0.05738 = 1.383 m

答案

H = 1.383 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 17.44 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1.5·1.4)·1.4 = 7.84 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·1.4·√(1 + 1.5²) = 8.548 m

R = A/P = 0.9172 m

速度

V = (1/0.012)·0.9172^2/3·0.0008^1/2 = 2.225 m/s

流量

Q = A·V = 7.84·2.225 = 17.44 m³/s

答案

Q = 17.44 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.00175 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.45/4 = 0.1125 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.75/0.233)² = 0.00175

答案

S = 0.00175

即每千米下降 1.75 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 2.512 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·14 = 2.06 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 2.06/0.82 = 2.512 kW

答案

P_shaft = 2.512 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 50.43 m

速度

V = Q/A = 0.02/0.01767 = 1.132 m/s

V²/(2g) = 0.06529 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (48 + 8)·0.06529 = 3.656 m

压力水头

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9.81) = 40.77 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 40.77 + 3.656 = 50.43 m

答案

H = 50.43 m

25.货币的时间价值

答案: PV = 31151 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.8131)/0.03 = 6.23

现值

PV = 5 000·6.23 = €31 151.41

答案

PV = €31 151.41

26.货币的时间价值

答案: N = 76 次还款

将年金公式变形

i = 0.0045

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0.0045/125 = 0.712

用对数求解

N = −ln(0.712)/ln(1.004) = 75.65

向上取整到整次还款

75 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 76

答案

N = 76 次还款

27.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.705 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 11 000/1.1 = 10 000.00 → Σ = 10 000.00

年份 2: 13 500/1.21 = 11 157.02 → Σ = 21 157.02

年份 3: 14 500/1.331 = 10 894.06 → Σ = 32 051.09

年份 4: 16 500/1.464 = 11 269.72 → Σ = 43 320.81

最后一年的分数

DPB = 3 + 7 948.91/11 269.72 = 3.705

答案

DPB = 3.705 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.061 年）。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 6.811 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 249.43

NPV(10%) = −413.22

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·249.43/(249.43 − (−413.22)) = 6.882%

精确: NPV(6.811%) = 0 → IRR = 6.811%

答案

IRR = 6.811%

29.正态分布

答案: P = 0.5952

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (30.2 − 32)/6 = −0.3

z₂ = (44 − 32)/6 = 2

中间面积

P = Φ(2) − Φ(−0.3) = 0.9772 − 0.3821 = 0.5952

答案

P = 0.5952

30.正态分布

答案: x = 119.2 分

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

换算回 x

x = 100 + 1.282·15 = 119.22 分

答案

x = 119.22 分

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