FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 3 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 3 mAC = 5 mP₁ = 45 kN 位于 2.5 mP₂ = 20 kN 位于 5 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 6 mP = 60 kN 位于 1 mw = 12 kN/m，从 0 到 1 m

R_B = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 35 kN ↓H: 10 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 15 kN ↓D: 10 kN ↓F: 40 kN →G: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

25 kN @ 3 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 10 mP = 25 kN 位于 4 mw = 6 kN/m，从 0 到 10 m

M_max = kN·m

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 20 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.梁的挠度困难

简支梁在距支座 B 为 b = 1.5 m 处承受集中荷载 P。求跨中挠度 δ_mid。

P = 10 kNb = 1.5 mL = 5 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

一块 200 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 200 mmd = 40 mm孔心: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 150 mm × 240 mm 的板有一个宽 80 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 144 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 240 mm切口: 80 × 30 mm孔心: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

σ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 7 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³黏土: γ_sat = 18.5 kN/m³

u = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 7 m 的超固结黏土，C_c = 0.35，C_r = 0.04，e₀ = 0.65。其中点深度处的竖向有效应力为 50 kPa ，先期固结压力为 160 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 250 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 7 mC_c = 0.35C_r = 0.04e₀ = 0.65σ′₀ = 50 kPaσ′_p = 160 kPaΔσ = 250 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

在室内固结仪试验中，一个厚 25 mm、上下两面排水的黏土试样在 15 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 10 m 的土层。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

h_lab = 25 mmt_lab = 15 minH = 10 m现场：单面排水

t = 天

17.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.3 m/s 的速度流过一根长 1000 m、内径 250 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1.3 m/sL = 1000 mD = 250 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

一根长 150 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.015）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 150 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 150 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5

H = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 600 mm 的混凝土雨水管半满流。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.0015。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 600 mmn = 0.013S = 0.0015

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 250 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 1.2 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 250 mmn = 0.013V = 1.2 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台效率为 65% 的水泵以 54 m 的扬程输送 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 30 L/sH = 54 mη = 65%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 22 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 70%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 15 L/sΔz = 22 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.018ΣK = 8η = 70%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4% 投资 €3 000，按季度复利。求 9 年后的投资价值 FV。

PV = €3 0004% / 4n = 9

FV = €

26.货币的时间价值困难

你以每年 3% 的利率借入 €25 000，按月复利，每月月末偿还 €450。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €25 000A = €4503% / 12

N = 次还款

27.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000，使用 6 年，每年运行费用为 €1 000（每年年末支付）。资本成本为 8%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €30 000M = €1 000n = 6r = 8%

EAC = €

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €8 500, €7 000, €11 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 8 500CF₂ = 7 000CF₃ = 11 500

IRR = %

29.正态分布中等

箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 9 个的总质量低于 105.6 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 9< 105.6 kg

P =

30.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的前 80% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h80%

x = h

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 70.83 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·3 = 45·2.5 + 20·5

R_B = 212.5/3 = 70.83 kN

竖向平衡

R_A = 45 + 20 − 70.83 = −5.833 kN

答案

R_B = 70.83 kN

R_A 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

2.梁的支座反力

答案: R_B = 11 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·1 = 12 kN，作用于 x̄ = 0.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1 + 12·1·0.5

R_B = 66/6 = 11 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 11 = 61 kN

答案

R_B = 11 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 8.437 kN (T), BC: 16.87 kN (T), CD: 16.87 kN (T), DE: 25.31 kN (T), FG: 8.437 kN (C), GH: 25.31 kN (C), AF: 14.06 kN (C), HE: 42.19 kN (C), BF: 11.25 kN (T), CG: 0, DH: 23.75 kN (T), BG: 14.06 kN (C), DG: 14.06 kN (T)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 53.75 kN (T), BC: 52.5 kN (T), CD: 52.5 kN (T), DE: 31.25 kN (T), FG: 53.75 kN (C), GH: 31.25 kN (C), AF: 19.45 kN (C), HE: 44.19 kN (C), BF: 13.75 kN (T), CG: 0, DH: 31.25 kN (T), BG: 1.768 kN (T), DG: 30.05 kN (C)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: D (x = 3 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 24.5 kN, R₂ = 24.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 22.5, M_C = 41, M_D = 55.5 kN·m, M_E = 41, M_F = 22.5, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 55.5 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 132 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·4 + 6·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 40 = 45 kN

V = 0 在哪里？

V(4⁻) = R_A − w·4 = 21 kN

V(4⁺) = 21 − 25 = −4 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 45·4 − 6·4²/2 = 132 kN·m

答案

M_max = 132 kN·m

它出现在距 A 为 x = 4 m 处。

7.梁的挠度

答案: θ_A = 0.03589 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 20 N/mm, L = 3000 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 20·3000³/(24·6.27 × 10¹¹) = 0.03589 rad

答案

θ_A = 0.03589 rad

即 2.056°。

8.梁的挠度

答案: δ_mid = 5.169 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 10000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

跨中挠度

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 10000·1500·(3·5000² − 4·1500²)/(48·3.99 × 10¹²) = 5.169 mm

答案

δ_mid = 5.169 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 233.9 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·1500 = 750 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/750² = 233946 N = 233.9 kN

答案

P_cr = 233.9 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 87.73 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/10 = 150

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87.73 MPa

答案

σ_cr = 87.73 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 131.1 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (40000·100 − 1257·60)/(40000 − 1257) = 101.3 mm

完整的板关于 ȳ

200·200³/12 + 40000·−1.297² = 133.4 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−41.3² = 2.269 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 131.1 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 131.1 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 171.1 × 10⁶ mm⁴

形心

ȳ = (36000·120 − 2400·144)/(36000 − 2400) = 118.3 mm

完整的板关于 ȳ

150·240³/12 + 36000·1.714² = 172.9 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

80·30³/12 + 2400·25.71² = 1.767 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 171.1 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 171.1 × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力

答案: σ = 107 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16.5·4 + 20.5·2 = 107 kPa

答案

σ = 107 kPa

14.土中有效应力

答案: u = 39.24 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

答案

u = 39.24 kPa

15.固结沉降

答案: S = 491.1 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 50 + 250 = 300 kPa > 160 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.04·7/(1 + 0.65)·log₁₀(160/50) + 0.35·7/(1 + 0.65)·log₁₀(300/160)

S = 85.72 + 405.4 = 491.1 mm

答案

S = 491.1 mm

16.固结沉降

答案: t = 6667 天

排水路径

H_dr,lab = 25/2 = 12.5 mm = 0.0125 m

H_dr,field = 10 m

换算时间

t = T_v·H_dr²/c_v，室内和现场的 T_v 和 c_v 相同。

t_field = 15·(10/0.0125)² = 9.6 × 10⁶ min

t_field = 9.6 × 10⁶/1440 = 6667 天

答案

t = 6667 天

17.静水压力

答案: F = 49.66 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·2.25 = 49.66 kN

答案

F = 49.66 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 2.533 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.5·1.5 = 37.71 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 0.125/(2.5·1.5) = 2.533 m

答案

y_cp = 2.533 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 60.84 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(1000/0.25)·1.3²/(2·9.81) = 6.202 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·6.202 = 60840 Pa = 60.84 kPa

答案

Δp = 60.84 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: H = 7.662 m

速度

V = Q/A = 0.15/0.04909 = 3.056 m/s

V²/(2g) = 0.4759 m

损失系数

f·L/D = 0.015·150/0.25 = 9

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 = 6.1

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 9 + 6.1)·0.4759 = 7.662 m

答案

H = 7.662 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 0.1189 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.1414 m², R = D/4 = 0.15 m

速度

V = (1/0.013)·0.15^2/3·0.0015^1/2 = 0.8411 m/s

流量

Q = A·V = 0.1414·0.8411 = 0.1189 m³/s

答案

Q = 0.1189 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.009812 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.25/4 = 0.0625 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1.2/0.1575)² = 0.009812

答案

S = 0.009812

即每千米下降 9.812 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 24.45 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·54 = 15.89 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 15.89/0.65 = 24.45 kW

答案

P_shaft = 24.45 kW

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 5.993 kW

速度

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 8)·0.1859 = 6.507 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 22 + 6.507 = 28.51 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.015·28.51/0.7 = 5.993 kW

答案

P_shaft = 5.993 kW

25.货币的时间价值

答案: FV = 4292 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.04/4 = 0.01

N = m·n = 4·9 = 36

终值

FV = 3 000·(1 + 0.01)³⁶ = 3 000·1.431 = €4 292.31

答案

FV = €4 292.31

26.货币的时间价值

答案: N = 60 次还款

将年金公式变形

i = 0.0025

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0.0025/450 = 0.8611

用对数求解

N = −ln(0.8611)/ln(1.002) = 59.89

向上取整到整次还款

59 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 60

答案

N = 60 次还款

27.NPV 与 IRR

答案: EAC = 7489 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.08⁻⁶)/0.08 = 4.623

年化购置价格

30 000/4.623 = 6 489.46

EAC

EAC = 6 489.46 + 1 000 = €7 489.46

答案

EAC = €7 489.46

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 15.7 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 245.75

NPV(20%) = −1 400.46

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·245.75/(245.75 − (−1 400.46)) = 15.75%

精确: NPV(15.7%) = 0 → IRR = 15.7%

答案

IRR = 15.7%

29.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 108 kg, σ_T = 0.8·√9 = 2.4 kg

标准化

z = (105.6 − 108)/2.4 = −1

概率

P = Φ(−1) = 0.1587

答案

P = 0.1587

30.正态分布

答案: x = 466 h

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.2

由表得到的 z

z ≈ −0.84

回到原来的单位

x = 500 − 0.84·40 = 466 h

答案

x = 466 h

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