FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 3 m 承受均布荷载 w，并在距墙 3.5 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 4 mP = 45 kN 位于 3.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 3 m

M_A = kN·m

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP = 40 kN 位于 7 mw = 4 kN/m，从 5 到 6 m

R_A = kN

3.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 25 kN

F_AB = kN

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

G: 30 kN ↓H: 20 kN ↓H: 10 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

5.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 1 m 处承受集中荷载 P。求在固定端 A 处的弯矩 M_A。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 45 kN 位于 1 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 m

M_A = kN·m

6.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 4 mP = 75 kN 位于 2.5 mw = 6 kN/m，从 0 到 4 m

M_max = kN·m

7.梁的挠度中等

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 3.5 m 处承受集中荷载 P。求自由端 B 处的挠度 δ_B。

P = 9 kNa = 3.5 mL = 5 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

一块 200 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 140 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 200 mmd = 60 mm孔心: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 15 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 100 mmM = 15 kN·m

σ_顶部 = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 12 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³

u = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³黏土: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 2 m 的超固结黏土，C_c = 0.45，C_r = 0.03，e₀ = 1.15。其中点深度处的竖向有效应力为 120 kPa ，超固结比 OCR = 3。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 60 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 2 mC_c = 0.45C_r = 0.03e₀ = 1.15σ′₀ = 120 kPaOCR = 3Δσ = 60 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

在室内固结仪试验中，一个厚 25 mm、上下两面排水的黏土试样在 6 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 9.5 m 的土层。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

h_lab = 25 mmt_lab = 6 minH = 9.5 m现场：单面排水

t = 天

17.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 3 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 1.2 m/s 的平均流速流过一根长 400 m、内径 100 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 1.2 m/sL = 400 mD = 100 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

一根长 100 m、内径 300 mm（达西摩擦系数 f = 0.015）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 100 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 100 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5

H = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 900 mm 的混凝土雨水管刚好满流（作为明渠，不承压）。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.0008。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 900 mmn = 0.013S = 0.0008

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 600 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 1 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 600 mmn = 0.013V = 1 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台水泵以 70 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 60%，驱动它的电动机效率为 90%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 20 L/sH = 70 mη_pump = 60%η_motor = 90%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 11 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 150 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 50 L/sΔz = 11 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 6p_tank = 150 kPa

H = m

25.货币的时间价值中等

你以名义年利率 5% 投资 €8 000，按季度复利。求 8 年后的投资价值 FV。

PV = €8 0005% / 4n = 8

FV = €

26.货币的时间价值困难

一笔 €20 000 的贷款在 4 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。

P = €20 0002.4% / 12N = 48

A = €

27.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€4 000, €4 000, €5 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 4 000CF₂ = 4 000CF₃ = 5 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €150 000。其现金流在第 1 年年末为 €22 500，之后每年增长 5%，直到第 6 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €150 000CF₁ = €22 500g = 5%n = 6r = 12%

NPV = €

29.正态分布中等

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 88 和 127 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 100σ = 15x₁ = 88x₂ = 127

P =

30.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

3溶液

1.梁的支座反力

答案: M_A = 166.5 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 2·3 = 6 kN, x̄ = 1.5 m

对墙的力矩

M_A = P·a + W·x̄ = 45·3.5 + 6·1.5 = 166.5 kN·m

答案

M_A = 166.5 kN·m

2.梁的支座反力

答案: R_A = 6.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN，作用于 x̄ = 5.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·7 + 4·1·5.5

R_B = 302/8 = 37.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 37.75 = 6.25 kN

答案

R_A = 6.25 kN

3.桁架：节点法

答案: F_AB = −11.27 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·3 → C_y = 18.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 18.75 = 6.25 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6.25/0.5547 = −11.27 kN

答案

F_AB = −11.27 kN (受压)

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 12.5 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 27.5 kN (T), FG: 22.5 kN (C), GH: 37.5 kN (C), AF: 31.82 kN (C), HE: 38.89 kN (C), BF: 22.5 kN (T), CG: 0, DH: 7.5 kN (T), BG: 31.82 kN (C), DG: 10.61 kN (C)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: M_A = −70 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −45·1 = −45 kN·m

w: −2·5²/2 = −25 kN·m

M_A = −45 − 25 = −70 kN·m

答案

M_A = −70 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 81.56 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 75·2.5 + 6·4·2

R_B = 235.5/4 = 58.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 99 − 58.88 = 40.13 kN

V = 0 在哪里？

V(2.5⁻) = R_A − w·2.5 = 25.13 kN

V(2.5⁺) = 25.13 − 75 = −49.88 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·2.5 − w·2.5²/2 = 40.13·2.5 − 6·2.5²/2 = 81.56 kN·m

答案

M_max = 81.56 kN·m

它出现在距 A 为 x = 2.5 m 处。

7.梁的挠度

答案: δ_B = 52.96 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 9000 N, a = 3500 mm, L = 5000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

自由端的挠度

荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。

δ_P = Pa³/(3EI) = 32.24 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.01382 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 52.96 mm

答案

δ_B = 52.96 mm

8.梁的挠度

答案: I_req = 109.1 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4000⁴/(384·11000·11.11) = 1.091 × 10⁸ mm⁴

I_req = 109.1 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 109.1 × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 84.22 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

计算长度

KL = 1·2500 = 2500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/2500² = 84221 N = 84.22 kN

答案

P_cr = 84.22 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 197.4 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa

答案

σ_cr = 197.4 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 127.8 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (40000·100 − 2827·140)/(40000 − 2827) = 96.96 mm

完整的板关于 ȳ

200·200³/12 + 40000·3.042² = 133.7 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·60⁴/64 + 2827·43.04² = 5.874 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 127.8 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 127.8 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 218.7 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

腹板: A_w = 8·100 = 800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·105 + 800·50)/1800 = 80.56 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·10³/12 + 1000·(105 − 80.56)² = 605864 mm⁴

腹板: 8·100³/12 + 800·(50 − 80.56)² = 1.414 × 10⁶ mm⁴

I_x = 605864 + 1.414 × 10⁶ = 2.019 × 10⁶ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 110 − 80.56 = 29.44 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·29.44/2.019 × 10⁶ = 218.7 MPa

答案

σ_顶部 = 218.7 MPa

13.土中有效应力

答案: u = 107.9 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·11 = 107.9 kPa

答案

u = 107.9 kPa

14.土中有效应力

答案: σ = 118 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2

σ = 15.5·4 + 20·1 + 18·2 = 118 kPa

答案

σ = 118 kPa

15.固结沉降

答案: S = 4.914 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·120 = 360 kPa

与先期固结压力比较

σ′_f = 120 + 60 = 180 kPa ≤ 360 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.03·2/(1 + 1.15)·log₁₀(180/120) = 4.914 mm

答案

S = 4.914 mm

16.固结沉降

答案: t = 2407 天

排水路径

H_dr,lab = 25/2 = 12.5 mm = 0.0125 m

H_dr,field = 9.5 m

换算时间

t = T_v·H_dr²/c_v，室内和现场的 T_v 和 c_v 相同。

t_field = 6·(9.5/0.0125)² = 3.466 × 10⁶ min

t_field = 3.466 × 10⁶/1440 = 2407 天

答案

t = 2407 天

17.静水压力

答案: F = 138 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·3.75 = 138 kN

答案

F = 138 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 3.524 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 0.25/(3.5·3) = 3.524 m

答案

y_cp = 3.524 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 7.339 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 1.2²/(2·9.81) = 0.07339 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(400/0.1)·1.2²/(2·9.81) = 7.339 m

答案

h_f = 7.339 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: H = 1.265 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.07069 = 1.415 m/s

V²/(2g) = 0.102 m

损失系数

f·L/D = 0.015·100/0.3 = 5

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 = 6.4

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 5 + 6.4)·0.102 = 1.265 m

答案

H = 1.265 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 0.512 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.6362 m², R = D/4 = 0.225 m

速度

V = (1/0.013)·0.225^2/3·0.0008^1/2 = 0.8049 m/s

流量

Q = A·V = 0.6362·0.8049 = 0.512 m³/s

答案

Q = 0.512 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.00212 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.6/4 = 0.15 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1/0.2823)² = 0.00212

答案

S = 0.00212

即每千米下降 2.12 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_el = 25.43 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·70 = 13.73 kW

轴功率

P_shaft = 13.73/0.6 = 22.89 kW

电功率

P_el = 22.89/0.9 = 25.43 kW

答案

P_el = 25.43 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 36.08 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 6)·0.408 = 9.793 m

压力水头

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9.81) = 15.29 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 11 + 15.29 + 9.793 = 36.08 m

答案

H = 36.08 m

25.货币的时间价值

答案: FV = 11905 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.05/4 = 0.0125

N = m·n = 4·8 = 32

终值

FV = 8 000·(1 + 0.0125)³² = 8 000·1.488 = €11 905.04

答案

FV = €11 905.04

26.货币的时间价值

答案: A = 437.4 €

月利率和还款期数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·4 = 48

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.9086

A = 20 000·0.002/(1 − 0.9086) = €437.40

答案

A = €437.40

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = −8898 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 4 000/1.08 = 3 703.70

CF₂/(1 + 0.08)² = 4 000/1.166 = 3 429.36

CF₃/(1 + 0.08)³ = 5 000/1.26 = 3 969.16

相加

NPV = €−8 897.78

答案

NPV = €−8 897.78

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: NPV = −46800 €

增长型年金的现值

((1.05)/(1.12))⁶ = 0.6789

PV = 22 500/(0.12 − 0.05)·(1 − 0.6789) = 103 199.74

NPV

NPV = 103 199.74 − 150 000 = −€46 800.26

答案

NPV = −€46 800.26

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

29.正态分布

答案: P = 0.7522

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (88 − 100)/15 = −0.8

z₂ = (127 − 100)/15 = 1.8

中间面积

P = Φ(1.8) − Φ(−0.8) = 0.9641 − 0.2119 = 0.7522

答案

P = 0.7522

30.正态分布

答案: P = 0.8264

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02121 mm

标准化

z = (0 − 0.02)/0.02121 = −0.94

概率

P = 1 − Φ(−0.94) = 0.8264

答案

P = 0.8264

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