FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 7 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 6 m 处承受一个逆时针力偶 M。求竖向反力 R_B，以向上为正。

L = 10 mP = 15 kN 位于 7 mM = 20 kN·m (逆时针) 位于 6 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 5 mP = 40 kN 位于 1 mw = 4 kN/m，从 2 到 5 m

R_A = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

4.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 45 kN水平荷载 = 20 kN →

F_AB = kN

5.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 0.5 m 处承受集中荷载 P。求在固定端 A 处的弯矩 M_A。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 2.5 mP = 70 kN 位于 0.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 2.5 m

M_A = kN·m

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mP = 55 kN 位于 3 mw = 6 kN/m，从 0 到 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 12 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.梁的挠度困难

简支梁在距支座 B 为 b = 1.5 m 处承受集中荷载 P。求跨中挠度 δ_mid。

P = 6 kNb = 1.5 mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

一块 120 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 144 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 240 mmd = 50 mm孔心: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 40 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mmM = 40 kN·m

σ_顶部 = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 9 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

u = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³黏土: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 4 m 的超固结黏土，C_c = 0.3，C_r = 0.02，e₀ = 0.95。其中点深度处的竖向有效应力为 75 kPa ，先期固结压力为 135 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 45 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 4 mC_c = 0.3C_r = 0.02e₀ = 0.95σ′₀ = 75 kPaσ′_p = 135 kPaΔσ = 45 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 9 m 的黏土，固结系数 c_v = 2.5 m²/year。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。平均固结度为 90% 时，时间因数 T_v = 0.848。该土层需要多少年 t 才能达到 90% 固结度？

H = 9 mc_v = 2.5 m²/年份U = 90%T_v = 0.848双面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 3 L/s 的流量流过一根长 50 m、内径 50 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 3 L/sL = 50 mD = 50 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

一根长 100 m、内径 300 mm（达西摩擦系数 f = 0.025）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 0.2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 75 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 75 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 0.2

H = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形植草土渠渠道底宽 4 m，边坡 3:1（水平:竖直）。水以 1.7 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.03，底坡 S = 0.004。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 4 my = 1.7 mz = 3n = 0.03S = 0.004

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 4.5 m、边坡 3:1（水平:竖直）的梯形砖砌渠道须以 2.2 m 的水深均匀输送 44 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.015。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 44 m³/sb = 4.5 my = 2.2 mz = 3n = 0.015

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台效率为 82% 的水泵以 22 m 的扬程输送 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 100 L/sH = 22 mη = 82%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 9 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 3（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 250 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 40 L/sΔz = 9 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 3p_tank = 250 kPa

H = m

25.货币的时间价值中等

你以每年 4% 的利率连续复利投资 €5 000。求 3 年后的价值 FV。

PV = €5 000r = 4%t = 3

FV = €

26.货币的时间价值困难

你以每年 7.2% 的利率借入 €12 000，按月复利，每月月末偿还 €550。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €12 000A = €5507.2% / 12

N = 次还款

27.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €40 000，在 6 年内每年年末回报 €13 000。资本成本为 5%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 5%CF₀ = −40 000CF₁ = 13 000CF₂ = 13 000CF₃ = 13 000CF₄ = 13 000CF₅ = 13 000CF₆ = 13 000

DPB = 年

28.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €25 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €10 500, €9 000, €8 000。现金流可按 12% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 12%CF₀ = −25 000CF₁ = 10 500CF₂ = 9 000CF₃ = 8 000

MIRR = %

29.正态分布中等

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 248.5 和 256.25 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 250σ = 5x₁ = 248.5x₂ = 256.25

P =

30.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 8.5 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·10 − 15·7 + 20 = 0

R_B = 85/10 = 8.5 kN

竖向平衡

R_A = 15 − 8.5 = 6.5 kN

答案

R_B = 8.5 kN

负的反力向下作用。

2.梁的支座反力

答案: R_A = 35.6 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN，作用于 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·1 + 4·3·3.5

R_B = 82/5 = 16.4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52 − 16.4 = 35.6 kN

答案

R_A = 35.6 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 5 kN (T), BC: 10 kN (T), CD: 10 kN (T), DE: 15 kN (T), FG: 5 kN (C), GH: 15 kN (C), AF: 7.071 kN (C), HE: 21.21 kN (C), BF: 5 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), BG: 7.071 kN (C), DG: 7.071 kN (T)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: F_AB = 10.94 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·3 + 20·4 → C_y = 53.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 53.75 = −8.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/5 = 0.8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−8.75/0.8 = 10.94 kN

答案

F_AB = 10.94 kN (受拉)

5.剪力和弯矩

答案: M_A = −47.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −70·0.5 = −35 kN·m

w: −4·2.5²/2 = −12.5 kN·m

M_A = −35 − 12.5 = −47.5 kN·m

答案

M_A = −47.5 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 84 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·3 + 6·5·2.5

R_B = 240/5 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 48 = 37 kN

在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 37·3 − 6·3·1.5 = 84 kN·m

答案

M_x = 84 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ_max = 6.328 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 6000 mm

EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·6000⁴/(384·3.2 × 10¹³) = 6.328 mm

答案

δ_max = 6.328 mm

8.梁的挠度

答案: δ_mid = 7.914 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 6000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

跨中挠度

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 6000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·9.24 × 10¹¹) = 7.914 mm

答案

δ_mid = 7.914 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 36.85 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

计算长度

KL = 1·1000 = 1000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/1000² = 36847 N = 36.85 kN

答案

P_cr = 36.85 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 197.4 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa

答案

σ_cr = 197.4 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 136.7 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (28800·120 − 1963·144)/(28800 − 1963) = 118.2 mm

完整的板关于 ȳ

120·240³/12 + 28800·1.756² = 138.3 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·25.76² = 1.609 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 136.7 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 136.7 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 105.3 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152.5 mm

腹板: A_w = 16·140 = 2240 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·152.5 + 2240·70)/7240 = 127 mm

平行移轴定理

翼缘: 200·25³/12 + 5000·(152.5 − 127)² = 3.518 × 10⁶ mm⁴

腹板: 16·140³/12 + 2240·(70 − 127)² = 1.093 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.518 × 10⁶ + 1.093 × 10⁷ = 1.445 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 165 − 127 = 38.02 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·38.02/1.445 × 10⁷ = 105.3 MPa

答案

σ_顶部 = 105.3 MPa

13.土中有效应力

答案: u = 78.48 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·8 = 78.48 kPa

答案

u = 78.48 kPa

14.土中有效应力

答案: σ = 139.5 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·4

σ = 15·3 + 18.5·1 + 19·4 = 139.5 kPa

答案

σ = 139.5 kPa

15.固结沉降

答案: S = 8.374 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 75 + 45 = 120 kPa ≤ 135 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.02·4/(1 + 0.95)·log₁₀(120/75) = 8.374 mm

答案

S = 8.374 mm

16.固结沉降

答案: t = 6.869 年

排水路径

H_dr = H/2 = 9/2 = 4.5 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.848·4.5²/2.5 = 6.869 年

答案

t = 6.869 年

17.静水压力

答案: F = 208.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.25·5 = 208.5 kN

答案

F = 208.5 kN

18.静水压力

答案: F = 97.34 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1.75·4.5 = 97.34 kN

答案

F = 97.34 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 1.785 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²

V = Q/A = 0.003/0.001963 = 1.528 m/s

速度水头

V²/(2g) = 1.528²/(2·9.81) = 0.119 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(50/0.05)·1.528²/(2·9.81) = 1.785 m

答案

h_f = 1.785 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: H = 0.6274 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s

V²/(2g) = 0.05738 m

损失系数

f·L/D = 0.025·100/0.3 = 8.333

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 0.2 = 1.6

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 8.333 + 1.6)·0.05738 = 0.6274 m

答案

H = 0.6274 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 33.66 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (4 + 3·1.7)·1.7 = 15.47 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1.7·√(1 + 3²) = 14.75 m

R = A/P = 1.049 m

速度

V = (1/0.03)·1.049^2/3·0.004^1/2 = 2.176 m/s

流量

Q = A·V = 15.47·2.176 = 33.66 m³/s

答案

Q = 33.66 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0005013 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (4.5 + 3·2.2)·2.2 = 24.42 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4.5 + 2·2.2·√(1 + 3²) = 18.41 m

R = A/P = 1.326 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.015·44/(24.42·1.207) = 0.02239

S = 0.02239² = 0.0005013

答案

S = 0.0005013

即每千米下降 0.5013 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 26.32 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·22 = 21.58 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 21.58/0.82 = 26.32 kW

答案

P_shaft = 26.32 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 38.4 m

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 3)·0.2611 = 3.917 m

压力水头

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9.81) = 25.48 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 9 + 25.48 + 3.917 = 38.4 m

答案

H = 38.4 m

25.货币的时间价值

答案: FV = 5637 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.04·3 = 0.12

e^0.12 = 1.127

终值

FV = 5 000·1.127 = €5 637.48

答案

FV = €5 637.48

26.货币的时间价值

答案: N = 24 次还款

将年金公式变形

i = 0.006

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0.006/550 = 0.8691

用对数求解

N = −ln(0.8691)/ln(1.006) = 23.45

向上取整到整次还款

23 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 24

答案

N = 24 次还款

27.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.43 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 13 000/1.05 = 12 380.95 → Σ = 12 380.95

年份 2: 13 000/1.103 = 11 791.38 → Σ = 24 172.34

年份 3: 13 000/1.158 = 11 229.89 → Σ = 35 402.22

年份 4: 13 000/1.216 = 10 695.13 → Σ = 46 097.36

最后一年的分数

DPB = 3 + 4 597.78/10 695.13 = 3.43

答案

DPB = 3.43 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.077 年）。

28.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 7.723 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

10 500·1.12² = 13 171.20

9 000·1.12¹ = 10 080.00

8 000·1.12⁰ = 8 000.00

TV = 31 251.20

MIRR

MIRR = (31 251.20/25 000)^1/3 − 1 = 7.723%

答案

MIRR = 7.723%

29.正态分布

答案: P = 0.5123

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (248.5 − 250)/5 = −0.3

z₂ = (256.25 − 250)/5 = 1.25

中间面积

P = Φ(1.25) − Φ(−0.3) = 0.8944 − 0.3821 = 0.5123

答案

P = 0.5123

30.正态分布

答案: P = 0.9633

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02236 mm

标准化

z = (0 − 0.04)/0.02236 = −1.79

概率

P = 1 − Φ(−1.79) = 0.9633

答案

P = 0.9633

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