梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
FE 土木考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 6 mP1 = 25 kN 位于 1 mP2 = 40 kN 位于 1.5 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 6 mP = 10 kN 位于 4.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 1 m
RB = kN
3.桁架：节点法中等
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 15 kN
FBC = kN
4.桁架：节点法困难
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 55 kN水平荷载 = 20 kN ←
FBC = kN
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mw = 3 kN/m，从 0 到 10 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
50 kN @ 0 m20 kN @ 12 m25 kN @ 4 m10 kN/m, 2–10 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 15 kN/mL = 1.5 mE = 200 GPa (钢)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
σcr = MPa
11.形心和惯性矩中等
圆管外径 D = 290 mm，内径 d = 266 mm。 求其对水平形心轴的回转半径 r。
D = 290 mmd = 266 mm
r = mm
12.形心和惯性矩困难
焊接工字形截面的上翼缘为 160 × 18 mm，腹板高 390 mm、厚 10 mm，下翼缘为 260 × 24 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
上翼缘: 160 × 18 mm腹板: 10 × 390 mm下翼缘: 260 × 24 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 8 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 19 kN/m³
σ′ = kPa
14.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 7 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 19 kN/m³黏土: γsat = 17.5 kN/m³
σ′ = kPa
15.固结沉降中等
一层厚 2.5 m 的超固结黏土，Cc = 0.35，Cr = 0.05，e₀ = 1.05。其中点深度处的竖向有效应力为 40 kPa ，先期固结压力为 100 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 210 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 2.5 mCc = 0.35Cr = 0.05e0 = 1.05σ′0 = 40 kPaσ′p = 100 kPaΔσ = 210 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
在室内固结仪试验中，一个厚 25 mm、上下两面排水的黏土试样在 10 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 4 m 的土层。 它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。 现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？
hlab = 25 mmtlab = 10 minH = 4 m现场：单面排水
t = 天
17.静水压力中等
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管道摩擦与水头损失中等
水以 6 L/s 的流量流过一根长 500 m、内径 75 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 6 L/sL = 500 mD = 75 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 200 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.025 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 38 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 38 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Q = L/s
21.明渠流（曼宁公式）中等
一条梯形植草土渠渠道底宽 4.5 m，边坡 3:1（水平:竖直）。水以 1.1 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.03，底坡 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 4.5 my = 1.1 mz = 3n = 0.03S = 0.0005
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
一根内径 250 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.75 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。
D = 250 mmn = 0.013V = 0.75 m/s
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
一台水泵以 16 m 的扬程输送 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 78%，驱动它的电动机效率为 90%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。
Q = 30 L/sH = 16 mηpump = 78%ηmotor = 90%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 12 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 75 L/sΔz = 12 mL = 400 mD = 200 mmf = 0.025ΣK = 6
H = m
25.货币的时间价值中等
你以名义年利率 4.8% 投资 €5 000，按季度复利。求 8 年后的投资价值 FV。
PV = €5 0004.8% / 4n = 8
FV = €
26.货币的时间价值困难
你以每年 5.4% 的利率借入 €15 000，按月复利，每月月末偿还 €200。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。
P = €15 000A = €2005.4% / 12
N = 次还款
27.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €500 000。它在第一年年末产生 €33 000，之后现金流每年永久增长 2%。资本成本为 8%。求净现值 NPV。
C0 = €500 000CF1 = €33 000g = 2%r = 8%
NPV = €
28.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €7 000, €5 000, €7 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 5 000CF3 = 7 500
IRR = %
29.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0217。求 z，保留两位小数。
A = 0.0217
z =
30.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 50.83 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·6 = 25·1 + 40·1.5
RB = 85/6 = 14.17 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 14.17 = 50.83 kN
答案
RA = 50.83 kN
2.梁的支座反力
答案: RB = 7.833 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN，作用于 x̄ = 0.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·4.5 + 4·1·0.5
RB = 47/6 = 7.833 kN
ΣFy = 0: RA = 14 − 7.833 = 6.167 kN
答案
RB = 7.833 kN
3.桁架：节点法
答案: FBC = −10.82 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·5 = 15·3 → Cy = 9 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 9 = 6 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −9/0.8321 = −10.82 kN
答案
FBC = −10.82 kN (受压)
4.桁架：节点法
答案: FBC = 1.667 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·5 = 55·1 − 20·3 → Cy = −1 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − −1 = 56 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 3/5 = 0.6, cos γ = 4/5 = 0.8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−1/0.6 = 1.667 kN
答案
FBC = 1.667 kN (受拉)
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 19.13 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 3·10·5
RB = 150/10 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 15·1.5 − 3·1.5·0.75 = 19.13 kN·m
答案
Mx = 19.13 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: B (x = 2 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 116.3 kN, R2 = 58.75 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −100 kN·m, MC = 12.5, MD = 35, ME = 17.5, MF = −40, MG = 0
答案
标记点 B: MB = −100 kN·m
7.梁的挠度
答案: δmax = 3.175 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 8 N/mm, L = 4000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 3.175 mm
答案
δmax = 3.175 mm
8.梁的挠度
答案: Ireq = 1.187 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·1500⁴/(384·200000·4.167) = 1.187 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1.187 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 1.187 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 7.343 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/3500² = 7343 N = 7.343 kN
答案
Pcr = 7.343 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 11.05 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
回转半径和长细比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·2500 = 5000 mm
KL/r = 5000/20 = 250
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11.05 MPa
答案
σcr = 11.05 MPa
11.形心和惯性矩
答案: r = 98.38 mm
惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。 回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。
净面积和惯性矩
A = π(D² − d²)/4 = 10480 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.014 × 10⁸ mm⁴
回转半径
r = √(I/A) = √(1.014 × 10⁸/10480) = 98.38 mm
答案
r = 98.38 mm
12.形心和惯性矩
答案: Ix = 399 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成三个矩形
每个 y 都从底边量起。
上翼缘: A = 2880 mm², y = 423 mm
腹板: A = 3900 mm², y = 219 mm
下翼缘: A = 6240 mm², y = 12 mm
形心
ȳ = (2880·423 + 3900·219 + 6240·12)/13020 = 164.9 mm
平行移轴定理
上翼缘: 160·18³/12 + 2880·258.1² = 1.919 × 10⁸ mm⁴
腹板: 10·390³/12 + 3900·54.08² = 6.084 × 10⁷ mm⁴
下翼缘: 260·24³/12 + 6240·152.9² = 1.462 × 10⁸ mm⁴
Ix = 1.919 × 10⁸ + 6.084 × 10⁷ + 1.462 × 10⁸
Ix = 3.99 × 10⁸ mm⁴ = 399 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 399 × 10⁶ mm⁴
13.土中有效应力
答案: σ′ = 93.95 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16·3 + 19·5 = 143 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·5 = 49.05 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 143 − 49.05 = 93.95 kPa
答案
σ′ = 93.95 kPa
14.土中有效应力
答案: σ′ = 68.64 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·1 + γsat,sand·4 + γsat,clay·2
σ = 16.5·1 + 19·4 + 17.5·2 = 127.5 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·6 = 58.86 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 127.5 − 58.86 = 68.64 kPa
答案
σ′ = 68.64 kPa
15.固结沉降
答案: S = 194.1 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
与先期固结压力比较
σ′f = 40 + 210 = 250 kPa > 100 kPa
沉降
σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。
S = 0.05·2.5/(1 + 1.05)·log₁₀(100/40) + 0.35·2.5/(1 + 1.05)·log₁₀(250/100)
S = 24.26 + 169.9 = 194.1 mm
答案
S = 194.1 mm
16.固结沉降
答案: t = 711.1 天
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr,lab = 25/2 = 12.5 mm = 0.0125 m
Hdr,field = 4 m
换算时间
t = Tv·Hdr²/cv，室内和现场的 T_v 和 cv 相同。
tfield = 10·(4/0.0125)² = 1.024 × 10⁶ min
tfield = 1.024 × 10⁶/1440 = 711.1 天
答案
t = 711.1 天
17.静水压力
答案: F = 157 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·4 = 157 kN
答案
F = 157 kN
18.静水压力
答案: F = 333.7 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·4.5·6 = 333.7 kN
答案
F = 333.7 kN
19.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 9.401 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²
V = Q/A = 0.006/0.004418 = 1.358 m/s
速度水头
V²/(2g) = 1.358²/(2·9.81) = 0.09401 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(500/0.075)·1.358²/(2·9.81) = 9.401 m
答案
hf = 9.401 m
20.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 234.4 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.025·200/0.25 = 20
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
38 = (20 + 12.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·38/32.7) = 4.775 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 4.775·0.04909 = 0.2344 m³/s = 234.4 L/s
答案
Q = 234.4 L/s
21.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 5.274 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (4.5 + 3·1.1)·1.1 = 8.58 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4.5 + 2·1.1·√(1 + 3²) = 11.46 m
R = A/P = 0.7489 m
速度
V = (1/0.03)·0.74892/3·0.00051/2 = 0.6147 m/s
流量
Q = A·V = 8.58·0.6147 = 5.274 m³/s
答案
Q = 5.274 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.003833 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
水力半径
R = D/4 = 0.25/4 = 0.0625 m
由曼宁公式解 S
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.75/0.1575)² = 0.003833
答案
S = 0.003833
即每千米下降 3.833 m。
23.水泵与泵功率
答案: Pel = 6.708 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·16 = 4.709 kW
轴功率
Pshaft = 4.709/0.78 = 6.037 kW
电功率
Pel = 6.037/0.9 = 6.708 kW
答案
Pel = 6.708 kW
24.水泵与泵功率
答案: H = 28.27 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 6)·0.2905 = 16.27 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 12 + 16.27 = 28.27 m
答案
H = 28.27 m
25.货币的时间价值
答案: FV = 7324 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.048/4 = 0.012
N = m·n = 4·8 = 32
终值
FV = 5 000·(1 + 0.012)32 = 5 000·1.465 = €7 323.97
答案
FV = €7 323.97
26.货币的时间价值
答案: N = 92 次还款
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
将年金公式变形
i = 0.0045
(1 + i)−N = 1 − 15 000·0.0045/200 = 0.6625
用对数求解
N = −ln(0.6625)/ln(1.004) = 91.7
向上取整到整次还款
91 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。
N = 92
答案
N = 92 次还款
27.NPV 与 IRR
答案: NPV = 50000 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
现金流的价值
PV = 33 000/(0.08 − 0.02) = 550 000.00
NPV
NPV = 550 000.00 − 500 000 = €50 000.00
答案
NPV = €50 000.00
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
28.NPV 与 IRR
答案: IRR = 42.23 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(40%) = 284.26
NPV(45%) = −334.17
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 40 + 5·284.26/(284.26 − (−334.17)) = 42.3%
精确: NPV(42.23%) = 0 → IRR = 42.23%
答案
IRR = 42.23%
29.正态分布
答案: z = 2.02
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.0217 = 0.9783
反向查 z 表
在表中找到 0.9783，读出 z。
z = 2.02
答案
z = 2.02
30.正态分布
答案: P = 0.8665
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01803 mm
标准化
z = (0 − 0.02)/0.01803 = −1.11
概率
P = 1 − Φ(−1.11) = 0.8665
答案
P = 0.8665
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