FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 10 mP₁ = 35 kN 位于 2 mP₂ = 60 kN 位于 5 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP = 50 kN 位于 2 mw = 6 kN/m，从 1 到 2 m

R_B = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

C: 40 kN ↓D: 25 kN ↓F: 25 kN ↓G: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

4.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 20 kN →

F_AC = kN

5.剪力和弯矩中等

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P₁，在 C 处承受集中荷载 P₂。求荷载 P₁ 处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mP₁ = 80 kN 位于 1 mP₂ = 25 kN 位于 6 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mP = 45 kN 位于 1 mw = 3 kN/m，从 0 到 6 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 22 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

一块 200 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 72 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 240 mmd = 40 mm孔心: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 120 mm × 150 mm 的板有一个宽 40 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 150 mm切口: 40 × 20 mm孔心: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 10 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 9 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³黏土: γ_sat = 17.5 kN/m³

σ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 3 m 的超固结黏土，C_c = 0.5，C_r = 0.03，e₀ = 0.6。其中点深度处的竖向有效应力为 95 kPa ，先期固结压力为 125 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 100 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 3 mC_c = 0.5C_r = 0.03e₀ = 0.6σ′₀ = 95 kPaσ′_p = 125 kPaΔσ = 100 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 3 m 的黏土，固结系数 c_v = 4 m²/year。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。平均固结度为 50% 时，时间因数 T_v = 0.197。该土层需要多少年 t 才能达到 50% 固结度？

H = 3 mc_v = 4 m²/年份U = 50%T_v = 0.197双面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 1.4 m/s 的平均流速流过一根长 100 m、内径 100 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.02，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 1.4 m/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 300 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 6 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 6 mL = 300 mD = 150 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

21.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 1200 mm 的混凝土雨水管刚好满流（作为明渠，不承压）。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.002。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 1200 mmn = 0.013S = 0.002

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 200 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 1 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 200 mmn = 0.013V = 1 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台水泵以 42 m 的扬程输送 150 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 82%，驱动它的电动机效率为 94%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 150 L/sH = 42 mη_pump = 82%η_motor = 94%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 8 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 4（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 80%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 75 L/sΔz = 8 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.025ΣK = 4η = 80%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 18%，每半年复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 18%m = 2

EAR = %

26.货币的时间价值困难

一笔 €20 000 的贷款在 7 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €20 0004.8% / 12N = 84

I = €

27.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €50 000。它在 6 年内每年年末产生 €8 500，之后可以以 €5 000 出售。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €50 000CF = €8 500S = €5 000n = 6r = 12%

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €50 000。其现金流在第 1 年年末为 €7 000，之后每年增长 2%，直到第 7 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €50 000CF₁ = €7 000g = 2%n = 7r = 10%

NPV = €

29.正态分布中等

水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 16 个的总质量超过 399 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 16> 399 kg

P =

30.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 10% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 100 分σ = 15 分10%

x = 分

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 37 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·2 + 60·5

R_B = 370/10 = 37 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 37 = 58 kN

答案

R_B = 37 kN

2.梁的支座反力

答案: R_B = 21.8 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN，作用于 x̄ = 1.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·2 + 6·1·1.5

R_B = 109/5 = 21.8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 56 − 21.8 = 34.2 kN

答案

R_B = 21.8 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 73.33 kN (T), BC: 73.33 kN (T), CD: 73.33 kN (T), DE: 73.33 kN (T), FG: 113.3 kN (C), GH: 113.3 kN (C), AF: 91.67 kN (C), HE: 91.67 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 50 kN (T), HC: 50 kN (T)

答案

零杆: BF

4.桁架：节点法

答案: F_AC = 18 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·4 + 20·2 → C_y = 36 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 36 = −1 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −36/0.8944 = −40.25 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−40.25)·0.4472 = 18 kN

答案

F_AC = 18 kN (受拉)

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 59 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 80·1 + 25·6

R_B = 230/5 = 46 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 46 = 59 kN

在 P₁ 处截开，保留左侧部分

M_x = R_A·1 = 59·1 = 59 kN·m

答案

M_x = 59 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 15 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·1 + 3·6·3

R_B = 99/6 = 16.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 16.5 = 46.5 kN

在 x = 5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 46.5·5 − 45·(5 − 1) − 3·5·2.5 = 15 kN·m

答案

M_x = 15 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ_max = 4.844 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 5000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 4.844 mm

答案

δ_max = 4.844 mm

8.梁的挠度

答案: δ_max = 11.62 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 22000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 22000·3000³/(48·1.61 × 10¹²) = 7.686 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·1.61 × 10¹²) = 3.931 mm

相加

δ_max = 7.686 + 3.931 = 11.62 mm

答案

δ_max = 11.62 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 69.09 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

计算长度

KL = 1·1500 = 1500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/1500² = 69087 N = 69.09 kN

答案

P_cr = 69.09 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 1.919 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1.919 MPa

答案

σ_cr = 1.919 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 227.3 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (48000·120 − 1257·72)/(48000 − 1257) = 121.3 mm

完整的板关于 ȳ

200·240³/12 + 48000·−1.29² = 230.5 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−49.29² = 3.179 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 227.3 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 227.3 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 33.53 × 10⁶ mm⁴

形心

ȳ = (18000·75 − 800·60)/(18000 − 800) = 75.7 mm

完整的板关于 ȳ

120·150³/12 + 18000·−0.6977² = 33.76 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

40·20³/12 + 800·−15.7² = 0.2238 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 33.53 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 33.53 × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力

答案: σ′ = 119.1 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·4 + 19·6 = 178 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 178 − 58.86 = 119.1 kPa

答案

σ′ = 119.1 kPa

14.土中有效应力

答案: σ = 167 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·4 + γ_sat,clay·4

σ = 15·1 + 20.5·4 + 17.5·4 = 167 kPa

答案

σ = 167 kPa

15.固结沉降

答案: S = 187.8 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 95 + 100 = 195 kPa > 125 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.03·3/(1 + 0.6)·log₁₀(125/95) + 0.5·3/(1 + 0.6)·log₁₀(195/125)

S = 6.704 + 181.1 = 187.8 mm

答案

S = 187.8 mm

16.固结沉降

答案: t = 0.1108 年

排水路径

H_dr = H/2 = 3/2 = 1.5 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.197·1.5²/4 = 0.1108 年

答案

t = 0.1108 年

17.静水压力

答案: F = 14.71 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1·1.5 = 14.71 kN

答案

F = 14.71 kN

18.静水压力

答案: F = 61.8 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.5·2 = 61.8 kN

答案

F = 61.8 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 1.998 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 1.4²/(2·9.81) = 0.0999 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(100/0.1)·1.4²/(2·9.81) = 1.998 m

答案

h_f = 1.998 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 31.48 L/s

损失系数

f·L/D = 0.015·300/0.15 = 30

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

6 = (30 + 7.1)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·6/37.1) = 1.781 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 1.781·0.01767 = 0.03148 m³/s = 31.48 L/s

答案

Q = 31.48 L/s

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 1.744 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 1.131 m², R = D/4 = 0.3 m

速度

V = (1/0.013)·0.3^2/3·0.002^1/2 = 1.542 m/s

流量

Q = A·V = 1.131·1.542 = 1.744 m³/s

答案

Q = 1.744 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.009175 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.2/4 = 0.05 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1/0.1357)² = 0.009175

答案

S = 0.009175

即每千米下降 9.175 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_el = 80.18 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·42 = 61.8 kW

轴功率

P_shaft = 61.8/0.82 = 75.37 kW

电功率

P_el = 75.37/0.94 = 80.18 kW

答案

P_el = 80.18 kW

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 13.44 kW

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18.75 + 4)·0.2905 = 6.609 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 8 + 6.609 = 14.61 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·14.61/0.8 = 13.44 kW

答案

P_shaft = 13.44 kW

25.货币的时间价值

答案: EAR = 18.81 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.18/2 = 0.09

复利一年

EAR = (1 + 0.09)² − 1 = 1.188 − 1 = 18.81%

答案

EAR = 18.81%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

26.货币的时间价值

答案: I = 3587 €

月供

i = 0.004, N = 84

A = 20 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)⁻⁸⁴) = €280.80

利息总额

I = N·A − P = 84·280.8 − 20 000 = €3 587.41

答案

I = €3 587.41

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = −12520 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

8 500·4.111 = 34 946.96

残值的现值

5 000/1.974 = 2 533.16

NPV

NPV = −50 000 + 34 946.96 + 2 533.16 = −€12 519.88

答案

NPV = −€12 519.88

28.NPV 与 IRR

答案: NPV = −14078 €

增长型年金的现值

((1.02)/(1.1))⁷ = 0.5895

PV = 7 000/(0.1 − 0.02)·(1 − 0.5895) = 35 922.48

NPV

NPV = 35 922.48 − 50 000 = −€14 077.52

答案

NPV = −€14 077.52

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

29.正态分布

答案: P = 0.6915

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 400 kg, σ_T = 0.5·√16 = 2 kg

标准化

z = (399 − 400)/2 = −0.5

概率

P = 1 − Φ(−0.5) = 0.6915

答案

P = 0.6915

30.正态分布

答案: x = 80.8 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.1

由表得到的 z

z ≈ −1.28

回到原来的单位

x = 100 − 1.28·15 = 80.8 分

答案

x = 80.8 分

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FE 土木考试练习：速成包

1公式与方法

梁的支座反力

方法

桁架：节点法

方法

剪力和弯矩

方法

梁的挠度

柱的屈曲

形心和惯性矩

土中有效应力

固结沉降

静水压力

管道摩擦与水头损失

明渠流（曼宁公式）

水泵与泵功率

货币的时间价值

方法

NPV 与 IRR

方法

正态分布

方法

2练习题

3溶液

受力图

平衡

答案

受力图

平衡

答案

节点 B

用节点法检验

答案

支座反力

节点 C

答案

支座反力

在 P1 处截开，保留左侧部分

答案

支座反力

在 x = 5 m 处截开，保留左侧部分

答案

单位一致

挠度

答案

单位一致

各荷载单独作用

相加

答案

最小惯性矩

计算长度

临界荷载

答案

最小惯性矩

回转半径和长细比

临界应力

答案

形心

完整的板关于 ȳ

孔关于 ȳ

相减

答案

形心

完整的板关于 ȳ

孔关于 ȳ

相减

答案

总应力

孔隙水压力

有效应力

答案

总应力

答案

与先期固结压力比较

沉降

答案

排水路径

时间

答案

在 P₁ 处截开，保留左侧部分