FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 9 m 处承受集中荷载 P。求墙处的竖向反力 R_A。

L = 10 mP = 30 kN 位于 9 mw = 10 kN/m，从 0 到 10 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 20 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 2 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 4 mw₀ = 20 kN/mP = 70 kN 位于 2 m

M_A = kN·m

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓F: 20 kN ↓G: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

4.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 5 kN →

F_AB = kN

5.剪力和弯矩中等

简支梁在距 A 为 x = 1 m 处承受一个顺时针力偶 M₀ = 50 kN·m，没有其他荷载。求力偶左侧紧邻处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mM₀ = 50 kN·m 顺时针，作用于 1 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 6 mw = 6 kN/m，从 0 到 3 m

M_max = kN·m

7.梁的挠度中等

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 1.5 m 处承受集中荷载 P。求自由端 B 处的挠度 δ_B。

P = 30 kNa = 1.5 mL = 2 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 5 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (铝)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

对称工字形截面的翼缘宽 140 mm、厚 16 mm，总高度 220 mm，腹板厚 6 mm。求其对水平形心轴 x 的惯性矩 I_x。

B = 140 mmH = 220 mmt_f = 16 mmt_w = 6 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

对称工字形截面的翼缘宽 240 mm、厚 22 mm，总高度 320 mm，腹板厚 14 mm。截面承受绕 x 轴的弯矩 50 kN·m。求截面中最大弯曲应力 σ_max 的大小。

B = 240 mmH = 320 mmt_f = 22 mmt_w = 14 mmM = 50 kN·m

σ_max = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 9 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³

σ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³黏土: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 6.5 m 的超固结黏土，C_c = 0.2，C_r = 0.05，e₀ = 1.1。其中点深度处的竖向有效应力为 105 kPa ，先期固结压力为 135 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 150 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 6.5 mC_c = 0.2C_r = 0.05e₀ = 1.1σ′₀ = 105 kPaσ′_p = 135 kPaΔσ = 150 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 7.5 m 的黏土，固结系数 c_v = 1 m²/year。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。平均固结度为 90% 时，时间因数 T_v = 0.848。该土层需要多少年 t 才能达到 90% 固结度？

H = 7.5 mc_v = 1 m²/年份U = 90%T_v = 0.848单面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 2.4 m/s 的平均流速流过一根长 800 m、内径 75 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 2.4 m/sL = 800 mD = 75 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

一根长 150 m、内径 200 mm（达西摩擦系数 f = 0.015）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 60 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 60 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 2

H = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形砾石渠道底宽 1.5 m，边坡 1.5:1（水平:竖直）。水以 2.5 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.025，底坡 S = 0.0008。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 1.5 my = 2.5 mz = 1.5n = 0.025S = 0.0008

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 450 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 1.2 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 450 mmn = 0.013V = 1.2 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台水泵以 54 m 的扬程输送 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 80%，驱动它的电动机效率为 95%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 60 L/sH = 54 mη_pump = 80%η_motor = 95%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 15 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 100 L/sΔz = 15 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.022ΣK = 6

H = m

25.货币的时间价值中等

你在 10 年后需要 €50 000。某账户年利率 3.6%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €50 0003.6% / 12n = 10

PV = €

26.货币的时间价值困难

一笔 €150 000 的贷款在 25 年内以等额月供偿还。年利率 7.2%，按月复利。求月供 A。

P = €150 0007.2% / 12N = 300

A = €

27.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €100 000。它在 8 年内每年年末产生 €14 500，之后可以以 €10 000 出售。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF = €14 500S = €10 000n = 8r = 10%

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

一笔 €80 000 的投资在 8 年内每年年末回报 €18 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €80 000CF = €18 000n = 8

IRR = %

29.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.7154。求 z，保留两位小数。

A = 0.7154

z =

30.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的前 30% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 100 分σ = 15 分30%

x = 分

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 130 kN

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 10·10 = 100 kN, x̄ = 5 m

竖向平衡

R_A = P + W = 30 + 100 = 130 kN

答案

R_A = 130 kN

2.梁的支座反力

答案: M_A = 193.3 kN·m

三角形荷载的合力

W = ½·20·4 = 40 kN

x̄ = L/3 = 1.333 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 40·1.333 + 70·2 = 193.3 kN·m

答案

M_A = 193.3 kN·m

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 58.33 kN (T), BC: 56.67 kN (T), CD: 56.67 kN (T), DE: 28.33 kN (T), FG: 58.33 kN (C), GH: 28.33 kN (C), AF: 72.92 kN (C), HE: 35.42 kN (C), BF: 23.75 kN (T), CG: 0, DH: 21.25 kN (T), BG: 2.083 kN (T), DG: 35.42 kN (C)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: F_AB = −18.38 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·2 + 5·2 → C_y = 12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 12 = 13 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −13/0.7071 = −18.38 kN

答案

F_AB = −18.38 kN (受压)

5.剪力和弯矩

答案: M_x = −8.333 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：R_B·L − M₀ = 0。竖向平衡：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 50/6 = 8.333 kN (向上)

R_A = −R_B = −8.333 kN (向下)

在力偶左侧紧邻处截开

左侧部分只包含 R_A。

M_x = R_A·a = −8.333·1 = −8.333 kN·m

答案

M_x = −8.333 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 15.19 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN，作用于 x̄ = 1.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·3·1.5

R_B = 27/6 = 4.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 4.5 = 13.5 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 13.5/6 = 2.25 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 13.5·2.25 − 6·2.25²/2 = 15.19 kN·m

答案

M_max = 15.19 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ_B = 6.027 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 30000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

自由端的挠度

荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。

δ_P = Pa³/(3EI) = 4.018 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.004018 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 6.027 mm

答案

δ_B = 6.027 mm

8.梁的挠度

答案: I_req = 72.32 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·6000⁴/(384·70000·16.67) = 7.232 × 10⁷ mm⁴

I_req = 72.32 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 72.32 × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 78.48 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

计算长度

KL = 1·1000 = 1000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1000² = 78485 N = 78.48 kN

答案

P_cr = 78.48 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 100.7 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/15 = 140

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa

答案

σ_cr = 100.7 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 50.03 × 10⁶ mm⁴

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 220 − 2·16 = 188 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·220³ − 134·188³)/12

I_x = 5.003 × 10⁷ mm⁴ = 50.03 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 50.03 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_max = 30.84 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 320 − 2·22 = 276 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (240·320³ − 226·276³)/12

I_x = 2.594 × 10⁸ mm⁴

弯曲应力

y = 160 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·160/2.594 × 10⁸ = 30.84 MPa

答案

σ_max = 30.84 MPa

13.土中有效应力

答案: σ = 161.5 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·4 + 19.5·5 = 161.5 kPa

答案

σ = 161.5 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 82.14 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3

σ = 16.5·2 + 19·3 + 17·3 = 141 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 141 − 58.86 = 82.14 kPa

答案

σ′ = 82.14 kPa

15.固结沉降

答案: S = 187.9 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 105 + 150 = 255 kPa > 135 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.05·6.5/(1 + 1.1)·log₁₀(135/105) + 0.2·6.5/(1 + 1.1)·log₁₀(255/135)

S = 16.89 + 171 = 187.9 mm

答案

S = 187.9 mm

16.固结沉降

答案: t = 47.7 年

排水路径

H_dr = H = 7.5 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.848·7.5²/1 = 47.7 年

答案

t = 47.7 年

17.静水压力

答案: F = 68.67 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·2 = 68.67 kN

答案

F = 68.67 kN

18.静水压力

答案: F = 74.16 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2·3 = 74.16 kN

答案

F = 74.16 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 78.29 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2.4²/(2·9.81) = 0.2936 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(800/0.075)·2.4²/(2·9.81) = 78.29 m

答案

h_f = 78.29 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: H = 2.854 m

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

损失系数

f·L/D = 0.015·150/0.2 = 11.25

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 = 3.1

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 11.25 + 3.1)·0.1859 = 2.854 m

答案

H = 2.854 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 17.22 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (1.5 + 1.5·2.5)·2.5 = 13.13 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·2.5·√(1 + 1.5²) = 10.51 m

R = A/P = 1.248 m

速度

V = (1/0.025)·1.248^2/3·0.0008^1/2 = 1.312 m/s

流量

Q = A·V = 13.13·1.312 = 17.22 m³/s

答案

Q = 17.22 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.004481 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.45/4 = 0.1125 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1.2/0.233)² = 0.004481

答案

S = 0.004481

即每千米下降 4.481 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_el = 41.82 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·54 = 31.78 kW

轴功率

P_shaft = 31.78/0.8 = 39.73 kW

电功率

P_el = 39.73/0.95 = 41.82 kW

答案

P_el = 41.82 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 19.99 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

V²/(2g) = 0.2115 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (17.6 + 6)·0.2115 = 4.992 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 15 + 4.992 = 19.99 m

答案

H = 19.99 m

25.货币的时间价值

答案: PV = 34903 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·10 = 120

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1.433 = €34 902.62

答案

PV = €34 902.62

26.货币的时间价值

答案: A = 1079 €

月利率和还款期数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·25 = 300

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.1662

A = 150 000·0.006/(1 − 0.1662) = €1 079.38

答案

A = €1 079.38

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = −17978 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

14 500·5.335 = 77 356.43

残值的现值

10 000/2.144 = 4 665.07

NPV

NPV = −100 000 + 77 356.43 + 4 665.07 = −€17 978.50

答案

NPV = −€17 978.50

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 15.29 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 80 000/18 000 = 4.444

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 15%: 4.487

i = 16%: 4.344

IRR = 15.29%

答案

IRR = 15.29%

29.正态分布

答案: z = 1.07

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.7154)/2 = 0.8577

反向查 z 表

在表中找到 0.8577，读出 z。

z = 1.07

答案

z = 1.07

30.正态分布

答案: x = 107.8 分

左侧的面积

Φ(z) = 0.7

由表得到的 z

z ≈ 0.52

回到原来的单位

x = 100 + 0.52·15 = 107.8 分

答案

x = 107.8 分

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