梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
FE 土木考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 10 mP1 = 15 kN 位于 1 mP2 = 20 kN 位于 4 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 3 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 8 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 4 m 处的集中荷载 P 以及距 A 为 1 m 处的集中荷载 Q。 求墙处反力矩 MA 的大小。
AC = 3 mAD = 8 mP = 50 kN 位于 4 mQ = 50 kN 位于 1 m
MA = kN·m
3.桁架：节点法中等
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 50 kN
FBC = kN
4.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 40 kN水平荷载 = 5 kN ←
FAB = kN
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的剪力 Vx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mw = 5 kN/m，从 0 到 5 mx = 3.5 m
Vx = kN
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mP = 60 kN 位于 2.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 6 mx = 1.5 m
Mx = kN·m
7.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。
P = 4 kNw = 4 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 15 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm
σcr = MPa
11.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 300 mmtf = 15 mmtw = 10 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
对称工字形截面的翼缘宽 130 mm、厚 20 mm，总高度 400 mm，腹板厚 10 mm。 截面承受绕 x 轴的弯矩 200 kN·m。 求截面中最大弯曲应力 σmax 的大小。
B = 130 mmH = 400 mmtf = 20 mmtw = 10 mmM = 200 kN·m
σmax = MPa
13.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。
z = 9 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 20.5 kN/m³
u = kPa
14.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 7.5 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15 kN/m³砂: γsat = 19.5 kN/m³黏土: γsat = 19 kN/m³
σ′ = kPa
15.固结沉降中等
一层厚 6.5 m 的超固结黏土，Cc = 0.45，Cr = 0.05，e₀ = 0.8。其中点深度处的竖向有效应力为 105 kPa ，超固结比 OCR = 2.5。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 120 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 6.5 mCc = 0.45Cr = 0.05e0 = 0.8σ′0 = 105 kPaOCR = 2.5Δσ = 120 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
在室内固结仪试验中，一个厚 25 mm、上下两面排水的黏土试样在 12 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 5 m 的土层。 它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。 现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？
hlab = 25 mmtlab = 12 minH = 5 m现场：单面排水
t = 天
17.静水压力中等
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.3 m/s 的速度流过一根长 50 m、内径 250 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 2.3 m/sL = 50 mD = 250 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
20.管道摩擦与水头损失困难
一根长 300 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.025）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 80 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 80 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 5
H = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
一条梯形清洁土渠渠道底宽 5.5 m，边坡 3:1（水平:竖直）。水以 1.2 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.022，底坡 S = 0.0015。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 5.5 my = 1.2 mz = 3n = 0.022S = 0.0015
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
一条底宽 5.5 m、边坡 1.5:1（水平:竖直）的梯形未抹面混凝土渠道 须以 1.2 m 的水深均匀输送 22 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.014。求所需底坡 S（以 m/m 计）。
Q = 22 m³/sb = 5.5 my = 1.2 mz = 1.5n = 0.014
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 34 m 的扬程输送 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 17.1 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 40 L/sH = 34 mPshaft = 17.1 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 5 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 250 kPa。求水泵须提供的扬程 H。
Q = 15 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 100 mmf = 0.025ΣK = 8ptank = 250 kPa
H = m
25.货币的时间价值中等
你以每年 5% 的利率连续复利投资 €10 000。求 7 年后的价值 FV。
PV = €10 000r = 5%t = 7
FV = €
26.货币的时间价值困难
你在 6 年内每月月末存入 €300。账户年利率 5.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €3005.4% / 12N = 72
FV = €
27.NPV 与 IRR中等
一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€6 000, €5 000, €4 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。
r = 5%CF0 = −20 000CF1 = 6 000CF2 = 5 000CF3 = 4 000
NPV = €
28.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €4 500, €7 000, €5 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −10 000CF1 = 4 500CF2 = 7 000CF3 = 5 500
IRR = %
29.正态分布中等
水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 4 个的总质量超过 99 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 4> 99 kg
P =
30.正态分布困难
一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 9.5 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·10 = 15·1 + 20·4
RB = 95/10 = 9.5 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 9.5 = 25.5 kN
答案
RB = 9.5 kN
2.梁的支座反力
答案: MA = 170 kN·m
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。 中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。
CD 段
铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。
ΣMC = 0: RD·5 = 50·1
RD = 10 kN
VC = 50 − 10 = 40 kN
AC 段
铰力 VC 向下作用在 AC 上（与它作用在 CD 上的力大小相等、方向相反）。
RA = 50 + 40 = 90 kN
MA = 50·1 + 40·3 = 170 kN·m
答案
MA = 170 kN·m
3.桁架：节点法
答案: FBC = −33.54 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·5 = 50·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 30 = 20 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −30/0.8944 = −33.54 kN
答案
FBC = −33.54 kN (受压)
4.桁架：节点法
答案: FAB = −23.57 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·6 = 40·4 − 5·4 → Cy = 23.33 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 23.33 = 16.67 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 4/5.657 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −16.67/0.7071 = −23.57 kN
答案
FAB = −23.57 kN (受压)
5.剪力和弯矩
答案: Vx = −5 kN
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 5·5·2.5
RB = 62.5/5 = 12.5 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 12.5 = 12.5 kN
在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
V = RA − （截面左侧所有向下荷载）
Vx = 12.5 − 5·3.5 = −5 kN
答案
Vx = −5 kN
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 66 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·2.5 + 4·6·3
RB = 222/6 = 37 kN
ΣFy = 0: RA = 84 − 37 = 47 kN
在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 47·1.5 − 4·1.5·0.75 = 66 kN·m
答案
Mx = 66 kN·m
7.梁的挠度
答案: δ = 45 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 4000 N, w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(3EI) = 4000·3000³/(3·1.7 × 10¹²) = 21.18 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·1.7 × 10¹²) = 23.82 mm
相加
δ = 21.18 + 23.82 = 45 mm
答案
δ = 45 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 5.051 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 15000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1.32 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 15000·2000³/(48·1.32 × 10¹²) = 1.894 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·1.32 × 10¹²) = 3.157 mm
相加
δmax = 1.894 + 3.157 = 5.051 mm
答案
δmax = 5.051 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 102.8 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/1000² = 102808 N = 102.8 kN
答案
Pcr = 102.8 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 34.27 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
回转半径和长细比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
KL/r = 1500/6.25 = 240
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34.27 MPa
答案
σcr = 34.27 MPa
11.形心和惯性矩
答案: Ix = 45.89 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 300·15 = 4500 mm², yf = 260 + 15/2 = 267.5 mm
腹板: Aw = 10·260 = 2600 mm², yw = 260/2 = 130 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·267.5 + 2600·130)/7100 = 217.1 mm
平行移轴定理
翼缘: 300·15³/12 + 4500·(267.5 − 217.1)² = 1.149 × 10⁷ mm⁴
腹板: 10·260³/12 + 2600·(130 − 217.1)² = 3.439 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.149 × 10⁷ + 3.439 × 10⁷ = 4.589 × 10⁷ mm⁴ = 45.89 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 45.89 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩
答案: σmax = 176.4 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 400 − 2·20 = 360 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (130·400³ − 120·360³)/12
Ix = 2.268 × 10⁸ mm⁴
弯曲应力
y = 200 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁸·200/2.268 × 10⁸ = 176.4 MPa
答案
σmax = 176.4 MPa
13.土中有效应力
答案: u = 68.67 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·7 = 68.67 kPa
答案
u = 68.67 kPa
14.土中有效应力
答案: σ′ = 81.54 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·2 + γsat,sand·2 + γsat,clay·3.5
σ = 15·2 + 19.5·2 + 19·3.5 = 135.5 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·5.5 = 53.96 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 135.5 − 53.96 = 81.54 kPa
答案
σ′ = 81.54 kPa
15.固结沉降
答案: S = 59.76 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
先期固结压力
σ′p = OCR·σ′0 = 2.5·105 = 262.5 kPa
与先期固结压力比较
σ′f = 105 + 120 = 225 kPa ≤ 262.5 kPa
沉降
黏土始终位于再压缩线上。
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0.05·6.5/(1 + 0.8)·log₁₀(225/105) = 59.76 mm
答案
S = 59.76 mm
16.固结沉降
答案: t = 1333 天
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr,lab = 25/2 = 12.5 mm = 0.0125 m
Hdr,field = 5 m
换算时间
t = Tv·Hdr²/cv，室内和现场的 T_v 和 cv 相同。
tfield = 12·(5/0.0125)² = 1.92 × 10⁶ min
tfield = 1.92 × 10⁶/1440 = 1333 天
答案
t = 1333 天
17.静水压力
答案: F = 78.48 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·4 = 78.48 kN
答案
F = 78.48 kN
18.静水压力
答案: F = 23.18 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·1.25·1.5 = 23.18 kN
答案
F = 23.18 kN
19.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 11.64 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(50/0.25)·2.3²/(2·9.81) = 1.186 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·1.186 = 11638 Pa = 11.64 kPa
答案
Δp = 11.64 kPa
20.管道摩擦与水头损失
答案: H = 5.063 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s
V²/(2g) = 0.1354 m
损失系数
f·L/D = 0.025·300/0.25 = 30
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 = 6.4
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 30 + 6.4)·0.1354 = 5.063 m
答案
H = 5.063 m
21.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 17.04 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (5.5 + 3·1.2)·1.2 = 10.92 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·1.2·√(1 + 3²) = 13.09 m
R = A/P = 0.8343 m
速度
V = (1/0.022)·0.83432/3·0.00151/2 = 1.56 m/s
流量
Q = A·V = 10.92·1.56 = 17.04 m³/s
答案
Q = 17.04 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.001441 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (5.5 + 1.5·1.2)·1.2 = 8.76 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·1.2·√(1 + 1.5²) = 9.827 m
R = A/P = 0.8915 m
由曼宁公式解 S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.014·22/(8.76·0.9263) = 0.03796
S = 0.03796² = 0.001441
答案
S = 0.001441
即每千米下降 1.441 m。
23.水泵与泵功率
答案: η = 78.02 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·34 = 13.34 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 13.34/17.1 = 78.02%
答案
η = 78.02%
24.水泵与泵功率
答案: H = 45.91 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (75 + 8)·0.1859 = 15.43 m
压力水头
p/(ρ·g) = 250000/(1000·9.81) = 25.48 m
泵扬程
两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 25.48 + 15.43 = 45.91 m
答案
H = 45.91 m
25.货币的时间价值
答案: FV = 14191 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
指数
r·t = 0.05·7 = 0.35
e0.35 = 1.419
终值
FV = 10 000·1.419 = €14 190.68
答案
FV = €14 190.68
26.货币的时间价值
答案: FV = 25443 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045
N = 12·6 = 72
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 300·(1.382 − 1)/0.0045 = €25 442.85
答案
FV = €25 442.85
你自己存入了 €21 600；其余是利息。
27.NPV 与 IRR
答案: NPV = −6295 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 6 000/1.05 = 5 714.29
CF2/(1 + 0.05)2 = 5 000/1.103 = 4 535.15
CF3/(1 + 0.05)3 = 4 000/1.158 = 3 455.35
相加
NPV = €−6 295.22
答案
NPV = €−6 295.22
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
28.NPV 与 IRR
答案: IRR = 30.73 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(30%) = 106.96
NPV(35%) = −590.36
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 30 + 5·106.96/(106.96 − (−590.36)) = 30.77%
精确: NPV(30.73%) = 0 → IRR = 30.73%
答案
IRR = 30.73%
29.正态分布
答案: P = 0.8413
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 100 kg, σT = 0.5·√4 = 1 kg
标准化
z = (99 − 100)/1 = −1
概率
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
答案
P = 0.8413
30.正态分布
答案: P = 0.7389
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
标准化
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
概率
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
答案
P = 0.7389
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