FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mP₁ = 40 kN 位于 1 mP₂ = 35 kN 位于 2 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 5 mP = 50 kN 位于 4 mw = 12 kN/m，从 0 到 4 m

R_A = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 35 kN ↓G: 30 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 15 kN ↓F: 10 kN ↓G: 10 kN ↓H: 20 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 1.5 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 12 kN/m，从 0 到 8 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 50 kN 位于 1 mw = 12 kN/m，从 0 到 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 12 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

一块 120 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 156 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 240 mmd = 50 mm孔心: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 120 mm × 200 mm 的板有一个宽 50 mm、高 40 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 70 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 200 mm切口: 50 × 40 mm孔心: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 9 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³黏土: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 7 m 的超固结黏土，C_c = 0.3，C_r = 0.02，e₀ = 1。其中点深度处的竖向有效应力为 115 kPa ，先期固结压力为 185 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 35 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 7 mC_c = 0.3C_r = 0.02e₀ = 1σ′₀ = 115 kPaσ′_p = 185 kPaΔσ = 35 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 10 m 的黏土，固结系数 c_v = 1.2 m²/year。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。平均固结度为 80% 时，时间因数 T_v = 0.567。该土层需要多少年 t 才能达到 80% 固结度？

H = 10 mc_v = 1.2 m²/年份U = 80%T_v = 0.567单面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 1.6 m/s 的平均流速流过一根长 100 m、内径 50 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 1.6 m/sL = 100 mD = 50 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 100 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 12 L/s？

Q = 12 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 300 mm 的混凝土雨水管半满流。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.0015。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 300 mmn = 0.013S = 0.0015

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 2.5 m、边坡 1.5:1（水平:竖直）的梯形植草土渠渠道须以 0.8 m 的水深均匀输送 4.7 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.03。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 4.7 m³/sb = 2.5 my = 0.8 mz = 1.5n = 0.03

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台效率为 80% 的水泵以 38 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 10 L/sH = 38 mη = 80%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 34 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 100 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 50 L/sΔz = 34 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 8p_tank = 100 kPa

H = m

25.货币的时间价值中等

你在 3 年后需要 €40 000。某账户年利率 4%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €40 0004% / 12n = 3

PV = €

26.货币的时间价值困难

你在 14 年内每月月末存入 €500。账户年利率 4.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5004.2% / 12N = 168

FV = €

27.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€22 000, €21 000, €22 000, €9 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

r = 6%CF₀ = −45 000CF₁ = 22 000CF₂ = 21 000CF₃ = 22 000CF₄ = 9 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €6 000, €4 000, €2 000。项目 B 需投入 €20 000，回报为 €5 000, €9 000, €10 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 000B: −20 000, 5 000, 9 000, 10 500

r* = %

29.正态分布中等

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 242.5 和 252.5 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 250σ = 5x₁ = 242.5x₂ = 252.5

P =

30.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 13.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·1 + 35·2

R_B = 110/8 = 13.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 13.75 = 61.25 kN

答案

R_B = 13.75 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 38.8 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·4 + 12·4·2

R_B = 296/5 = 59.2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 98 − 59.2 = 38.8 kN

答案

R_A = 38.8 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 BF

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 B

AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 23.75 kN (T), BC: 23.75 kN (T), CD: 41.25 kN (T), DE: 41.25 kN (T), FG: 47.5 kN (C), GH: 47.5 kN (C), AF: 33.59 kN (C), HE: 58.34 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 33.59 kN (T), HC: 8.839 kN (T)

答案

零杆: BF

4.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 2.812 kN (T), BC: 2.812 kN (T), CD: 3.437 kN (T), DE: 3.437 kN (T), FG: 26.88 kN (C), GH: 26.88 kN (C), AF: 38.02 kN (C), HE: 5.729 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 6.771 kN (T), HC: 5.729 kN (T)

答案

零杆: DH

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 58.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

在 x = 1.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 48·1.5 − 12·1.5·0.75 = 58.5 kN·m

答案

M_x = 58.5 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 55.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·1 + 12·4·2

R_B = 146/4 = 36.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 98 − 36.5 = 61.5 kN

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 61.5·1 − 12·1·0.5 = 55.5 kN·m

答案

M_x = 55.5 kN·m

7.梁的挠度

答案: θ_A = 0.01875 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 5·6000³/(24·2.4 × 10¹²) = 0.01875 rad

答案

θ_A = 0.01875 rad

即 1.074°。

8.梁的挠度

答案: I_req = 25.31 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·6000⁴/(384·200000·16.67) = 2.531 × 10⁷ mm⁴

I_req = 25.31 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 25.31 × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 13.49 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

计算长度

KL = 2·1000 = 2000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/2000² = 13494 N = 13.49 kN

答案

P_cr = 13.49 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 179 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/10 = 105

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

答案

σ_cr = 179 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 135.2 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (28800·120 − 1963·156)/(28800 − 1963) = 117.4 mm

完整的板关于 ȳ

120·240³/12 + 28800·2.634² = 138.4 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·38.63² = 3.237 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 135.2 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 135.2 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 77.77 × 10⁶ mm⁴

形心

ȳ = (24000·100 − 2000·70)/(24000 − 2000) = 102.7 mm

完整的板关于 ȳ

120·200³/12 + 24000·−2.727² = 80.18 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

50·40³/12 + 2000·−32.73² = 2.409 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 77.77 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 77.77 × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力

答案: σ′ = 114.4 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16.5·4 + 19.5·5 = 163.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·5 = 49.05 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 163.5 − 49.05 = 114.4 kPa

答案

σ′ = 114.4 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 92.95 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2

σ = 15·3 + 20·3 + 18.5·2 = 142 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·5 = 49.05 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 142 − 49.05 = 92.95 kPa

答案

σ′ = 92.95 kPa

15.固结沉降

答案: S = 8.078 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 115 + 35 = 150 kPa ≤ 185 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.02·7/(1 + 1)·log₁₀(150/115) = 8.078 mm

答案

S = 8.078 mm

16.固结沉降

答案: t = 47.25 年

排水路径

H_dr = H = 10 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.567·10²/1.2 = 47.25 年

答案

t = 47.25 年

17.静水压力

答案: F = 323.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.5·6 = 323.7 kN

答案

F = 323.7 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 2.333 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·2.25 = 49.66 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.25 + 0.4219/(2.25·2.25) = 2.333 m

答案

y_cp = 2.333 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 4.697 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 1.6²/(2·9.81) = 0.1305 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(100/0.05)·1.6²/(2·9.81) = 4.697 m

答案

h_f = 4.697 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 3.581 m

速度

V = Q/A = 0.012/0.007854 = 1.528 m/s

V²/(2g) = 0.119 m

损失系数

f·L/D = 0.018·100/0.1 = 18

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1

总水头损失

h_f = 18·0.119 = 2.142 m

h_m = 12.1·0.119 = 1.44 m

Δz = h_f + h_m = 3.581 m

答案

Δz = 3.581 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 0.01873 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.03534 m², R = D/4 = 0.075 m

速度

V = (1/0.013)·0.075^2/3·0.0015^1/2 = 0.5298 m/s

流量

Q = A·V = 0.03534·0.5298 = 0.01873 m³/s

答案

Q = 0.01873 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.005039 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (2.5 + 1.5·0.8)·0.8 = 2.96 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·0.8·√(1 + 1.5²) = 5.384 m

R = A/P = 0.5497 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·4.7/(2.96·0.6711) = 0.07098

S = 0.07098² = 0.005039

答案

S = 0.005039

即每千米下降 5.039 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 4.66 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·38 = 3.728 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 3.728/0.8 = 4.66 kW

答案

P_shaft = 4.66 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 55.62 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0.408 = 11.42 m

压力水头

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9.81) = 10.19 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 34 + 10.19 + 11.42 = 55.62 m

答案

H = 55.62 m

25.货币的时间价值

答案: PV = 35484 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.04/12 = 0.003333

N = 12·3 = 36

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.127 = €35 483.90

答案

PV = €35 483.90

26.货币的时间价值

答案: FV = 114077 €

月利率和存款次数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·14 = 168

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1.799 − 1)/0.0035 = €114 076.67

答案

FV = €114 076.67

你自己存入了 €84 000；其余是利息。

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 20045 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 22 000/1.06 = 20 754.72

CF₂/(1 + 0.06)² = 21 000/1.124 = 18 689.93

CF₃/(1 + 0.06)³ = 22 000/1.191 = 18 471.62

CF₄/(1 + 0.06)⁴ = 9 000/1.262 = 7 128.84

相加

NPV = €20 045.11

答案

NPV = €20 045.11

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: r* = 8.423 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −20 000 − (−10 000) = −10 000

ΔCF₁ = 5 000 − 6 000 = −1 000

ΔCF₂ = 9 000 − 4 000 = 5 000

ΔCF₃ = 10 500 − 2 000 = 8 500

差额的 IRR

NPV_Δ(8%) = 108.34

NPV_Δ(9%) = −145.47

r* = 8.423%

答案

r* = 8.423%

校核：在 8.423% 时两个 NPV 都是 €505.74。

29.正态分布

答案: P = 0.6247

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (242.5 − 250)/5 = −1.5

z₂ = (252.5 − 250)/5 = 0.5

中间面积

P = Φ(0.5) − Φ(−1.5) = 0.6915 − 0.06681 = 0.6247

答案

P = 0.6247

30.正态分布

答案: P = 0.8133

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02236 mm

标准化

z = (0 − 0.02)/0.02236 = −0.89

概率

P = 1 − Φ(−0.89) = 0.8133

答案

P = 0.8133

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