梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
FE 土木考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的零增大到 B 处的 10 kN/m。 求竖向支座反力 RA。
L = 6 mw0 = 10 kN/m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 6 mP = 35 kN 位于 1.5 mw = 10 kN/m，从 1 到 3 m
RB = kN
3.桁架：节点法中等
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 60 kN
FAB = kN
4.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 60 kN水平荷载 = 30 kN ←
FAB = kN
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
15 kN @ 2 m10 kN @ 1 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.剪力和弯矩困难
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。 求支座 B 处的弯矩 MB。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 8.5 mw = 10 kN/m，从 0 到 8.5 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m
MB = kN·m
7.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。
w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 18 kNw = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2 mE = 70 GPa (铝)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 6 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
σcr = MPa
11.形心和惯性矩中等
一块 100 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 52.5 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 100 mmh = 150 mmd = 60 mm孔心: y = 52.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
一块 150 mm × 200 mm 的板有一个宽 40 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 130 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 150 mmh = 200 mm切口: 40 × 20 mm孔心: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。
z = 5 mzw = 4 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 19.5 kN/m³
σ = kPa
14.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 7 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 20 kN/m³黏土: γsat = 19 kN/m³
σ′ = kPa
15.固结沉降中等
一层厚 4 m 的超固结黏土，Cc = 0.2，Cr = 0.04，e₀ = 1.15。其中点深度处的竖向有效应力为 60 kPa ，先期固结压力为 150 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 100 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 4 mCc = 0.2Cr = 0.04e0 = 1.15σ′0 = 60 kPaσ′p = 150 kPaΔσ = 100 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
一层厚 4 m 的黏土，固结系数 cv = 2.5 m²/year。 它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。 平均固结度为 90% 时，时间因数 Tv = 0.848。该土层需要多少年 t 才能达到 90% 固结度？
H = 4 mcv = 2.5 m²/年份U = 90%Tv = 0.848单面排水
t = 年
17.静水压力中等
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 0.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
19.管道摩擦与水头损失中等
水以 50 L/s 的流量流过一根长 200 m、内径 200 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 50 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 400 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 150 L/s？
Q = 150 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Δz = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
一条梯形抹面混凝土渠道底宽 4 m，边坡 1.5:1（水平:竖直）。水以 2.5 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.012，底坡 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 4 my = 2.5 mz = 1.5n = 0.012S = 0.0005
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
一根内径 300 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.75 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。
D = 300 mmn = 0.013V = 0.75 m/s
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 22 m 的扬程输送 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 26.6 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 80 L/sH = 22 mPshaft = 26.6 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 27 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 72%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 120 L/sΔz = 27 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.025ΣK = 8η = 72%
Pshaft = kW
25.货币的时间价值中等
你在 8 年后需要 €10 000。某账户年利率 4%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €10 0004% / 12n = 8
PV = €
26.货币的时间价值困难
你在 16 年内每月月末存入 €50。账户年利率 2.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €502.4% / 12N = 192
FV = €
27.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €250 000。它在第一年年末产生 €27 000，之后现金流每年永久增长 1%。资本成本为 10%。求净现值 NPV。
C0 = €250 000CF1 = €27 000g = 1%r = 10%
NPV = €
28.NPV 与 IRR困难
一笔 €10 000 的投资在 9 年内每年年末回报 €2 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。
C0 = €10 000CF = €2 000n = 9
IRR = %
29.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9615。求 z，保留两位小数。
A = 0.9615
z =
30.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 97.5%
x = h
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 10 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
三角形荷载的合力
W = ½·10·6 = 30 kN
x̄ = 2L/3 = 4 m
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·6 = 30·4
RB = 20 kN
RA = 30 − 20 = 10 kN
答案
RA = 10 kN
2.梁的支座反力
答案: RB = 15.42 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·6 = 35·1.5 + 10·2·2
RB = 92.5/6 = 15.42 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 15.42 = 39.58 kN
答案
RB = 15.42 kN
3.桁架：节点法
答案: FAB = −50.91 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·5 = 60·2 → Cy = 24 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 24 = 36 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −36/0.7071 = −50.91 kN
答案
FAB = −50.91 kN (受压)
4.桁架：节点法
答案: FAB = −67.2 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 60·1 − 30·3 → Cy = −3.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − −3.75 = 63.75 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 3/3.162 = 0.9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −63.75/0.9487 = −67.2 kN
答案
FAB = −67.2 kN (受压)
5.剪力和弯矩
答案: C (x = 2 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 18.33 kN, R2 = 6.667 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 18.33, MC = 26.67 kN·m, MD = 20, ME = 13.33, MF = 6.667, MG = 0
答案
标记点 C: MC = 26.67 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: MB = −31.25 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·8.5 = 85 kN，作用于 x̄ = 4.25 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·8.5·4.25
RB = 361.3/6 = 60.21 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 60.21 = 24.79 kN
在 B 处截开，保留外伸段
外伸段上的荷载 w·a 作用在距 B 为 a/2 处，使梁在支座上方产生负弯矩。
MB = −w·a²/2 = −10·2.5²/2 = −31.25 kN·m
答案
MB = −31.25 kN·m
7.梁的挠度
答案: δ = 25.38 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 10 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²
挠度
δ = wL⁴/(8EI) = 10·3000⁴/(8·3.99 × 10¹²) = 25.38 mm
答案
δ = 25.38 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 11.01 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 18000 N, w = 8 N/mm, L = 4000 mm, EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(48EI) = 18000·4000³/(48·4.6 × 10¹²) = 5.217 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 5.797 mm
相加
δmax = 5.217 + 5.797 = 11.01 mm
答案
δmax = 11.01 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 155.4 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/1000² = 155446 N = 155.4 kN
答案
Pcr = 155.4 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 1.079 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·6000 = 12000 mm
KL/r = 12000/15 = 800
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1.079 MPa
答案
σcr = 1.079 MPa
11.形心和惯性矩
答案: Ix = 25.72 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (15000·75 − 2827·52.5)/(15000 − 2827) = 80.23 mm
完整的板关于 ȳ
100·150³/12 + 15000·−5.226² = 28.53 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·60⁴/64 + 2827·−27.73² = 2.81 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 25.72 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 25.72 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩
答案: Ix = 99.23 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (30000·100 − 800·130)/(30000 − 800) = 99.18 mm
完整的板关于 ȳ
150·200³/12 + 30000·0.8219² = 100 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
40·20³/12 + 800·30.82² = 0.7867 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 99.23 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 99.23 × 10⁶ mm⁴
13.土中有效应力
答案: σ = 85.5 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16.5·4 + 19.5·1 = 85.5 kPa
答案
σ = 85.5 kPa
14.土中有效应力
答案: σ′ = 78.95 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·2 + γsat,sand·2 + γsat,clay·3
σ = 15.5·2 + 20·2 + 19·3 = 128 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·5 = 49.05 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 128 − 49.05 = 78.95 kPa
答案
σ′ = 78.95 kPa
15.固结沉降
答案: S = 40.04 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
与先期固结压力比较
σ′f = 60 + 100 = 160 kPa > 150 kPa
沉降
σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。
S = 0.04·4/(1 + 1.15)·log₁₀(150/60) + 0.2·4/(1 + 1.15)·log₁₀(160/150)
S = 29.61 + 10.43 = 40.04 mm
答案
S = 40.04 mm
16.固结沉降
答案: t = 5.427 年
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr = H = 4 m
时间
t = Tv·Hdr²/cv = 0.848·4²/2.5 = 5.427 年
答案
t = 5.427 年
17.静水压力
答案: F = 119.6 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·3.75 = 119.6 kN
答案
F = 119.6 kN
18.静水压力
答案: ycp = 1.722 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.5·2 = 29.43 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0.6667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.5 + 0.6667/(1.5·2) = 1.722 m
答案
ycp = 1.722 m
19.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 3.873 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.2²/4 = 0.03142 m²
V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s
速度水头
V²/(2g) = 1.592²/(2·9.81) = 0.1291 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(200/0.2)·1.592²/(2·9.81) = 3.873 m
答案
hf = 3.873 m
20.管道摩擦与水头损失
答案: Δz = 15.66 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.15/0.04909 = 3.056 m/s
V²/(2g) = 0.4759 m
损失系数
f·L/D = 0.018·400/0.25 = 28.8
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1
总水头损失
hf = 28.8·0.4759 = 13.71 m
hm = 4.1·0.4759 = 1.951 m
Δz = hf + hm = 15.66 m
答案
Δz = 15.66 m
21.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 47.07 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (4 + 1.5·2.5)·2.5 = 19.38 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·2.5·√(1 + 1.5²) = 13.01 m
R = A/P = 1.489 m
速度
V = (1/0.012)·1.4892/3·0.00051/2 = 2.43 m/s
流量
Q = A·V = 19.38·2.43 = 47.07 m³/s
答案
Q = 47.07 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.003006 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
水力半径
R = D/4 = 0.3/4 = 0.075 m
由曼宁公式解 S
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.75/0.1778)² = 0.003006
答案
S = 0.003006
即每千米下降 3.006 m。
23.水泵与泵功率
答案: η = 64.91 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·22 = 17.27 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 17.27/26.6 = 64.91%
答案
η = 64.91%
24.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 55.6 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0.3046 = 7.006 m
泵扬程
H = Δz + hL = 27 + 7.006 = 34.01 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.12·34.01/0.72 = 55.6 kW
答案
Pshaft = 55.6 kW
25.货币的时间价值
答案: PV = 7265 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.04/12 = 0.003333
N = 12·8 = 96
现值
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1.376 = €7 265.36
答案
PV = €7 265.36
26.货币的时间价值
答案: FV = 11690 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·16 = 192
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 50·(1.468 − 1)/0.002 = €11 689.56
答案
FV = €11 689.56
你自己存入了 €9 600；其余是利息。
27.NPV 与 IRR
答案: NPV = 50000 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
现金流的价值
PV = 27 000/(0.1 − 0.01) = 300 000.00
NPV
NPV = 300 000.00 − 250 000 = €50 000.00
答案
NPV = €50 000.00
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
28.NPV 与 IRR
答案: IRR = 13.7 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
所需的年金系数
(1 − (1 + i)−9)/i = 10 000/2 000 = 5
求利率
利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。
i = 13%: 5.132
i = 14%: 4.946
IRR = 13.7%
答案
IRR = 13.7%
29.正态分布
答案: z = 2.07
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.9615)/2 = 0.9808
反向查 z 表
在表中找到 0.9808，读出 z。
z = 2.07
答案
z = 2.07
30.正态分布
答案: x = 578.4 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.975 → z = 1.96
换算回 x
x = 500 + 1.96·40 = 578.4 h
答案
x = 578.4 h
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