流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 1 mH = 1 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 1 mH = 2.5 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 1 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
12d1​ = 150 mm, p1​ = 140 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

水流经一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 140 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。

d1 = 150 mmd2 = 50 mmp1 = 140 kPav1 = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.连续性和伯努利困难
C213 m5 md = 40 mmpC​ = ?

一根内径 40 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 3 m，出口（通大气）低于水面 5 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。 求 C 点的绝对压强 pC。大气压为 101.3 kPa。

d = 40 mmzC = +3 mz2 = −5 mg = 9.81 m/s²patm = 101.3 kPa
pC = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
V = 1.7 m/sD = 300 mmL = 800 mf = 0.022

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.7 m/s 的速度流过一根长 800 m、内径 300 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1.7 m/sL = 800 mD = 300 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 0.2Δz = ?L = 150 m, D = 300 mm, f = 0.0153× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 150 L/s？

Q = 150 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Δz = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 10 L/sH = 16 m

一台效率为 78% 的水泵以 16 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 10 L/sH = 16 mη = 78%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.水泵与泵功率困难
350 kPa (表压)PQ = 120 L/sΔz = 11 mL = 100 m, D = 250 mm, f = 0.018, ΣK = 2.5

一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 11 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 2.5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 350 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 120 L/sΔz = 11 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.018ΣK = 2.5ptank = 350 kPa
H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 44.15 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
闸门d = 1 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.5·3 = 44.15 kN

答案

F = 44.15 kN
2.静水压力

答案: ycp = 2.481 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
闸门d = 1 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2.25·5 = 113.1 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 2·2.5³/12 = 2.604 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.25 + 2.604/(2.25·5) = 2.481 m

答案

ycp = 2.481 m
3.连续性和伯努利

答案: p2 = 130 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(150/50)² = 4.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 4.5²)/1000 = −10 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 140 + (−10) = 130 kPa

答案

p2 = 130 kPa
4.连续性和伯努利

答案: pC = 22.82 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·5) = √(2·9.81·5) = 9.905 m/s

从液面到 C 的伯努利方程

patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101.3 − 1000·(9.905²/2 + 9.81·3)/1000 = 101.3 − 78.48 = 22.82 kPa

答案

pC = 22.82 kPa

如果该压强降到水的饱和蒸汽压，虹吸就会停止工作。

5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 84.77 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(800/0.3)·1.7²/(2·9.81) = 8.642 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·8.642 = 84773 Pa = 84.77 kPa

答案

Δp = 84.77 kPa
6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 2.318 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.15/0.07069 = 2.122 m/s
V²/(2g) = 0.2295 m

损失系数

f·L/D = 0.015·150/0.3 = 7.5
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.6

总水头损失

hf = 7.5·0.2295 = 1.721 m
hm = 2.6·0.2295 = 0.5967 m
Δz = hf + hm = 2.318 m

答案

Δz = 2.318 m
7.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 2.012 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·16 = 1.57 kW

轴功率

Pshaft = Ph/η = 1.57/0.78 = 2.012 kW

答案

Pshaft = 2.012 kW
8.水泵与泵功率

答案: H = 49.63 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7.2 + 2.5)·0.3046 = 2.955 m

压力水头

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9.81) = 35.68 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 11 + 35.68 + 2.955 = 49.63 m

答案

H = 49.63 m

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