静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 0.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 0.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
水流经一根水平管道，管径从 75 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 300 kPa，流速为 1.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 300 kPav1 = 1.75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.连续性和伯努利困难
水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 1 m。截面 1 处压强为 210 kPa，流速为 2.25 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 210 kPav1 = 2.25 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
水以 2.3 m/s 的平均流速流过一根长 300 m、内径 300 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
V = 2.3 m/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
一根长 100 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.02）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 100 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 100 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2
H = m
7.水泵与泵功率中等
一台水泵以 30 m 的扬程输送 150 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 78%，驱动它的电动机效率为 88%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。
Q = 150 L/sH = 30 mηpump = 78%ηmotor = 88%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 15 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 40 L/sΔz = 15 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 6
H = m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 29.43 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1·3 = 29.43 kN
答案
F = 29.43 kN
2.静水压力
答案: ycp = 1.4 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·1.25·3 = 46.35 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.25 + 0.5625/(1.25·3) = 1.4 m
答案
ycp = 1.4 m
3.连续性和伯努利
答案: p2 = 293.8 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 1.75·(75/50)² = 3.938 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.75² − 3.938²)/1000 = −6.221 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 300 + (−6.221) = 293.8 kPa
答案
p2 = 293.8 kPa
4.连续性和伯努利
答案: p2 = 189.9 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 2.25·(75/50)² = 5.063 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.25² − 5.063²)/1000 = −10.28 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 210 + (−10.28) − 9.81 = 189.9 kPa
答案
p2 = 189.9 kPa
5.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 6.741 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度水头
V²/(2g) = 2.3²/(2·9.81) = 0.2696 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(300/0.3)·2.3²/(2·9.81) = 6.741 m
答案
hf = 6.741 m
6.管道摩擦与水头损失
答案: H = 2.623 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m
损失系数
f·L/D = 0.02·100/0.25 = 8
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 8 + 3.4)·0.2115 = 2.623 m
答案
H = 2.623 m
7.水泵与泵功率
答案: Pel = 64.31 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·30 = 44.15 kW
轴功率
Pshaft = 44.15/0.78 = 56.6 kW
电功率
Pel = 56.6/0.88 = 64.31 kW
答案
Pel = 64.31 kW
8.水泵与泵功率
答案: H = 19.7 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 6)·0.2611 = 4.701 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 15 + 4.701 = 19.7 m
答案
H = 19.7 m
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