流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 1.5 mH = 1 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 0.5 mH = 2 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 0.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
12d1​ = 150 mm, p1​ = ?d2​ = 75 mm, p2​ = 180 kPa

水以 6 L/s 流过一根水平管道，管径从 150 mm 缩小到 75 mm。窄段的压强为 180 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p1。

Q = 6 L/sd1 = 150 mmd2 = 75 mmp2 = 180 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.连续性和伯努利困难
12d1​ = 75 mm, p1​ = 290 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?Δz = 9 m

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 50 mm，同时升高 9 m。截面 1 处压强为 290 kPa，流速为 2.75 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 290 kPav1 = 2.75 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
V = 0.9 m/sD = 50 mmL = 150 mf = 0.03

水以 0.9 m/s 的平均流速流过一根长 150 m、内径 50 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

V = 0.9 m/sL = 150 mD = 50 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 10自由出流H = ?L = 150 m, D = 250 mm, f = 0.0184× 弯头 (K = 0.3)

一根长 150 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.018）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 10）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 50 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 50 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10
H = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 40 L/sH = 72 m

一台水泵以 72 m 的扬程输送 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 72%，驱动它的电动机效率为 92%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。

Q = 40 L/sH = 72 mηpump = 72%ηmotor = 92%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
PQ = 20 L/sΔz = 10 mL = 100 m, D = 100 mm, f = 0.018, ΣK = 5

一台水泵把 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 10 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。

Q = 20 L/sΔz = 10 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.018ΣK = 5
H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 39.24 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
闸门d = 1.5 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·2 = 39.24 kN

答案

F = 39.24 kN
2.静水压力

答案: ycp = 1.722 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
闸门d = 0.5 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·1.5·6 = 77.7 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.5 + 2/(1.5·6) = 1.722 m

答案

ycp = 1.722 m
3.连续性和伯努利

答案: p1 = 180.9 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v1 = Q/A1 = 0.006/0.01767 = 0.3395 m/s
v2 = Q/A2 = 0.006/0.004418 = 1.358 m/s

伯努利方程

p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 180 + ½·1000·(1.358² − 0.3395²)/1000 = 180 + 0.8646 = 180.9 kPa

答案

p1 = 180.9 kPa
4.连续性和伯努利

答案: p2 = 186.3 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.75·(75/50)² = 6.188 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.75² − 6.188²)/1000 = −15.36 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·9/1000 = 88.29 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 290 + (−15.36) − 88.29 = 186.3 kPa

答案

p2 = 186.3 kPa
5.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 3.716 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 0.9²/(2·9.81) = 0.04128 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(150/0.05)·0.9²/(2·9.81) = 3.716 m

答案

hf = 3.716 m
6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 1.243 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.05/0.04909 = 1.019 m/s
V²/(2g) = 0.05288 m

损失系数

f·L/D = 0.018·150/0.25 = 10.8
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 = 11.7

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 10.8 + 11.7)·0.05288 = 1.243 m

答案

H = 1.243 m
7.水泵与泵功率

答案: Pel = 42.65 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·72 = 28.25 kW

轴功率

Pshaft = 28.25/0.72 = 39.24 kW

电功率

Pel = 39.24/0.92 = 42.65 kW

答案

Pel = 42.65 kW
8.水泵与泵功率

答案: H = 17.6 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 5)·0.3305 = 7.602 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + hL = 10 + 7.602 = 17.6 m

答案

H = 17.6 m

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