静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 1.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
水从一个大型敞口水箱经直径 30 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 6 m，流量系数为 0.6。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。
d = 30 mmh = 6 mCd = 0.6g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 190 kPa。水从水面以下 1.5 m 处直径 20 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求 射流速度 v。 取 g = 9.81 m/s²。
pair = 190 kPa (表压)h = 1.5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
v = m/s
5.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.3 m/s 的速度流过一根长 1000 m、内径 250 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 2.3 m/sL = 1000 mD = 250 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
一根长 150 m、内径 300 mm（达西摩擦系数 f = 0.018）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 75 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 75 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2
H = m
7.水泵与泵功率中等
一台水泵以 18 m 的扬程输送 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 80%，驱动它的电动机效率为 92%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。
Q = 40 L/sH = 18 mηpump = 80%ηmotor = 92%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 10 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 20 L/sΔz = 10 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.02ΣK = 5
H = m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 235.4 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·6 = 235.4 kN
答案
F = 235.4 kN
2.静水压力
答案: ycp = 2.042 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2·1.5 = 37.08 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 0.125/(2·1.5) = 2.042 m
答案
ycp = 2.042 m
3.连续性和伯努利
答案: Q = 4.602 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
理想射流速度
√(2gh) = √(2·9.81·6) = 10.85 m/s
实际流量
流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。
Q = Cd·A·√(2gh) = 0.6·0.0007069·10.85 = 0.004602 m³/s = 4.602 L/s
答案
Q = 4.602 L/s
4.连续性和伯努利
答案: v = 20.23 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
从液面到射流的伯努利方程
v = √(2·(190000/1000 + 9.81·1.5)) = 20.23 m/s
答案
v = 20.23 m/s
5.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 317.4 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(1000/0.25)·2.3²/(2·9.81) = 32.35 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·32.35 = 317400 Pa = 317.4 kPa
答案
Δp = 317.4 kPa
6.管道摩擦与水头损失
答案: H = 0.7689 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s
V²/(2g) = 0.05738 m
损失系数
f·L/D = 0.018·150/0.3 = 9
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 9 + 3.4)·0.05738 = 0.7689 m
答案
H = 0.7689 m
7.水泵与泵功率
答案: Pel = 9.597 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·18 = 7.063 kW
轴功率
Pshaft = 7.063/0.8 = 8.829 kW
电功率
Pel = 8.829/0.92 = 9.597 kW
答案
Pel = 9.597 kW
8.水泵与泵功率
答案: H = 21.57 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 5)·0.3305 = 11.57 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 10 + 11.57 = 21.57 m
答案
H = 21.57 m
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