静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 1 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 2.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 140 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p2。
d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 140 kPav1 = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.连续性和伯努利困难
水在一根管道中向上流动，管径从 200 mm 缩小到 100 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 400 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 400 kPav1 = 2.5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
水以 20 L/s 的流量流过一根长 1000 m、内径 150 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 20 L/sL = 1000 mD = 150 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
一根长 150 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.015）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 120 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 120 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 5
H = m
7.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 64 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 8 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 10 L/sH = 64 mPshaft = 8 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 9 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 70%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 40 L/sΔz = 9 mL = 300 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 5η = 70%
Pshaft = kW
3溶液
1.静水压力
答案: F = 51.5 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.75·3 = 51.5 kN
答案
F = 51.5 kN
2.静水压力
答案: ycp = 4.188 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·4·3 = 148.3 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4 + 2.25/(4·3) = 4.188 m
答案
ycp = 4.188 m
3.连续性和伯努利
答案: p2 = 139.7 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(100/75)² = 0.8889 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 0.8889²)/1000 = −0.2701 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 140 + (−0.2701) = 139.7 kPa
答案
p2 = 139.7 kPa
4.连续性和伯努利
答案: p2 = 323.7 kPa
连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。
连续性和伯努利
用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。
v2 = v1·(d1/d2)² = 2.5·(200/100)² = 10 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.5² − 10²)/1000 = −46.88 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 400 + (−46.88) − 29.43 = 323.7 kPa
答案
p2 = 323.7 kPa
5.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 7.834 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²
V = Q/A = 0.02/0.01767 = 1.132 m/s
速度水头
V²/(2g) = 1.132²/(2·9.81) = 0.06529 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(1000/0.15)·1.132²/(2·9.81) = 7.834 m
答案
hf = 7.834 m
6.管道摩擦与水头损失
答案: H = 4.904 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m
损失系数
f·L/D = 0.015·150/0.25 = 9
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 = 6.1
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 9 + 6.1)·0.3046 = 4.904 m
答案
H = 4.904 m
7.水泵与泵功率
答案: η = 78.48 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·64 = 6.278 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 6.278/8 = 78.48%
答案
η = 78.48%
8.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 10.17 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 5)·0.2611 = 9.14 m
泵扬程
H = Δz + hL = 9 + 9.14 = 18.14 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.04·18.14/0.7 = 10.17 kW
答案
Pshaft = 10.17 kW
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