流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 120 kPa，流速为 1 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 120 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 90 kPa。水从水面以下 1.5 m 处直径 25 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求射流速度 v。取 g = 9.81 m/s²。

p_air = 90 kPa (表压)h = 1.5 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2 m/s 的速度流过一根长 400 m、内径 300 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2 m/sL = 400 mD = 300 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.管道摩擦与水头损失困难

一根长 150 m、内径 150 mm（达西摩擦系数 f = 0.025）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 30 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 30 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 2

H = m

7.水泵与泵功率中等

一台水泵以 72 m 的扬程输送 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 82%，驱动它的电动机效率为 88%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 80 L/sH = 72 mη_pump = 82%η_motor = 88%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 25 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 82%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 40 L/sΔz = 25 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

3溶液

1.静水压力

答案: F = 24.52 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·1 = 24.52 kN

答案

F = 24.52 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 1.083 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1·3 = 37.08 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1 + 0.25/(1·3) = 1.083 m

答案

y_cp = 1.083 m

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 95.22 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(200/75)² = 7.111 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 7.111²)/1000 = −24.78 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 120 + (−24.78) = 95.22 kPa

答案

p₂ = 95.22 kPa

4.连续性和伯努利

答案: v = 14.47 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(90000/1000 + 9.81·1.5)) = 14.47 m/s

答案

v = 14.47 m/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 48 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(400/0.3)·2²/(2·9.81) = 4.893 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·4.893 = 48000 Pa = 48 kPa

答案

Δp = 48 kPa

6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 4.275 m

速度

V = Q/A = 0.03/0.01767 = 1.698 m/s

V²/(2g) = 0.1469 m

损失系数

f·L/D = 0.025·150/0.15 = 25

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 = 3.1

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 25 + 3.1)·0.1469 = 4.275 m

答案

H = 4.275 m

7.水泵与泵功率

答案: P_el = 78.31 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·72 = 56.51 kW

轴功率

P_shaft = 56.51/0.82 = 68.91 kW

电功率

P_el = 68.91/0.88 = 78.31 kW

答案

P_el = 78.31 kW

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 15.46 kW

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0.2611 = 7.312 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 25 + 7.312 = 32.31 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.04·32.31/0.82 = 15.46 kW

答案

P_shaft = 15.46 kW

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