流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 1.5 mH = 1 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 1.5 mH = 3 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
d1​ = 80 mmd2​ = 40 mm12p1​ − p2​ = 17 kPaQ = ?

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 80 mm，喉部直径 40 mm。入口处的压强比喉部高 17 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d1 = 80 mmd2 = 40 mmp1 − p2 = 17 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
12d1​ = 100 mm, p1​ = 290 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 2 m

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 75 mm，同时升高 2 m。截面 1 处压强为 290 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 290 kPav1 = 2.5 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
V = 2.3 m/sD = 250 mmL = 50 mf = 0.018

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.3 m/s 的速度流过一根长 50 m、内径 250 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.3 m/sL = 50 mD = 250 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 2Δz = 39 mL = 300 m, D = 300 mm, f = 0.0222× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 300 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 39 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 39 mL = 300 mD = 300 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
PQ = 150 L/sH = 34 m

一台水泵以 34 m 的扬程输送 150 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 80%，驱动它的电动机效率为 94%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。

Q = 150 L/sH = 34 mηpump = 80%ηmotor = 94%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
PQ = 100 L/sΔz = 6 mL = 200 m, D = 250 mm, f = 0.02, ΣK = 5

一台水泵把 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 6 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 80%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 100 L/sΔz = 6 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.02ΣK = 5η = 80%
Pshaft = kW

3溶液

1.静水压力

答案: F = 19.62 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
闸门d = 1.5 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·1 = 19.62 kN

答案

F = 19.62 kN
2.静水压力

答案: F = 222.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
闸门d = 1.5 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·3·6 = 222.5 kN

答案

F = 222.5 kN
3.连续性和伯努利

答案: Q = 7.568 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v1 = v2·(40/80)² = 0.25·v2

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·17000/(1000·(1 − 0.0625))) = 6.022 m/s
v1 = 1.506 m/s

流量

Q = A2·v2 = 0.001257·6.022 = 0.007568 m³/s = 7.568 L/s

答案

Q = 7.568 L/s
4.连续性和伯努利

答案: p2 = 263.6 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.5·(100/75)² = 4.444 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.5² − 4.444²)/1000 = −6.752 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 290 + (−6.752) − 19.62 = 263.6 kPa

答案

p2 = 263.6 kPa
5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 9.522 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(50/0.25)·2.3²/(2·9.81) = 0.9706 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·0.9706 = 9522 Pa = 9.522 kPa

答案

Δp = 9.522 kPa
6.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 382.7 L/s

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

损失系数

f·L/D = 0.022·300/0.3 = 22
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

39 = (22 + 4.1)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·39/26.1) = 5.415 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 5.415·0.07069 = 0.3827 m³/s = 382.7 L/s

答案

Q = 382.7 L/s
7.水泵与泵功率

答案: Pel = 66.53 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·34 = 50.03 kW

轴功率

Pshaft = 50.03/0.8 = 62.54 kW

电功率

Pel = 62.54/0.94 = 66.53 kW

答案

Pel = 66.53 kW
8.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 12.8 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16 + 5)·0.2115 = 4.442 m

泵扬程

H = Δz + hL = 6 + 4.442 = 10.44 m

轴功率

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.1·10.44/0.8 = 12.8 kW

答案

Pshaft = 12.8 kW

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