流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 4 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 600 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。

p₀ − p = 600 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

4.连续性和伯努利困难

水在一根管道中向上流动，管径从 75 mm 缩小到 40 mm，同时升高 6 m。截面 1 处压强为 140 kPa，流速为 2.25 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p₂。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 140 kPav₁ = 2.25 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1 m/s 的速度流过一根长 1000 m、内径 50 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1 m/sL = 1000 mD = 50 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 100 L/s？

Q = 100 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

一台水泵以 76 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 70%，驱动它的电动机效率为 88%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 10 L/sH = 76 mη_pump = 70%η_motor = 88%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 18 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 72%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 40 L/sΔz = 18 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

3溶液

1.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·3 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 5.349 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.25·2.5 = 128.8 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5.25 + 1.302/(5.25·2.5) = 5.349 m

答案

y_cp = 5.349 m

3.连续性和伯努利

答案: v = 31.62 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·600/1.2) = 31.62 m/s

答案

v = 31.62 m/s

4.连续性和伯努利

答案: p₂ = 52.39 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.25·(75/40)² = 7.91 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.25² − 7.91²)/1000 = −28.75 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 140 + (−28.75) − 58.86 = 52.39 kPa

答案

p₂ = 52.39 kPa

5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 300 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(1000/0.05)·1²/(2·9.81) = 30.58 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·30.58 = 300000 Pa = 300 kPa

答案

Δp = 300 kPa

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 0.9079 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.07069 = 1.415 m/s

V²/(2g) = 0.102 m

损失系数

f·L/D = 0.018·100/0.3 = 6

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.9

总水头损失

h_f = 6·0.102 = 0.6121 m

h_m = 2.9·0.102 = 0.2958 m

Δz = h_f + h_m = 0.9079 m

答案

Δz = 0.9079 m

7.水泵与泵功率

答案: P_el = 12.1 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·76 = 7.456 kW

轴功率

P_shaft = 7.456/0.7 = 10.65 kW

电功率

P_el = 10.65/0.88 = 12.1 kW

答案

P_el = 12.1 kW

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 14.74 kW

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26.67 + 8)·0.2611 = 9.053 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 18 + 9.053 = 27.05 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.04·27.05/0.72 = 14.74 kW

答案

P_shaft = 14.74 kW

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