流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 50 mm。宽段压强为 270 kPa，流速为 2.5 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 270 kPav₁ = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 100 mm，喉部 50 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 160 mm。流量系数为 0.98。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmΔh = 160 mmC_d = 0.98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 25 L/s 的流量流过一根长 150 m、内径 150 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 25 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 80 L/s？

Q = 80 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

一台效率为 70% 的水泵以 48 m 的扬程输送 150 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 150 L/sH = 48 mη = 70%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 5 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 85%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 40 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 5η = 85%

P_shaft = kW

3溶液

1.静水压力

答案: F = 49.05 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·2 = 49.05 kN

答案

F = 49.05 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 3.524 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3.5·2 = 60.43 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0.1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 0.1667/(3.5·2) = 3.524 m

答案

y_cp = 3.524 m

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 223.1 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(100/50)² = 10 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 10²)/1000 = −46.88 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 270 + (−46.88) = 223.1 kPa

答案

p₂ = 223.1 kPa

4.连续性和伯努利

答案: Q = 12.5 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.16 = 19777 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 50/100 = 0.5

v₂ = √(2·19777/(1000·(1 − 0.0625))) = 6.495 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.98·0.001963·6.495 = 0.0125 m³/s = 12.5 L/s

答案

Q = 12.5 L/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 1.53 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²

V = Q/A = 0.025/0.01767 = 1.415 m/s

速度水头

V²/(2g) = 1.415²/(2·9.81) = 0.102 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(150/0.15)·1.415²/(2·9.81) = 1.53 m

答案

h_f = 1.53 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 1.68 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.07069 = 1.132 m/s

V²/(2g) = 0.06529 m

损失系数

f·L/D = 0.02·200/0.3 = 13.33

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4

总水头损失

h_f = 13.33·0.06529 = 0.8705 m

h_m = 12.4·0.06529 = 0.8095 m

Δz = h_f + h_m = 1.68 m

答案

Δz = 1.68 m

7.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 100.9 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·48 = 70.63 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 70.63/0.7 = 100.9 kW

答案

P_shaft = 100.9 kW

8.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 3.643 kW

速度

V = Q/A = 0.04/0.03142 = 1.273 m/s

V²/(2g) = 0.08263 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 5)·0.08263 = 2.892 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 5 + 2.892 = 7.892 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.04·7.892/0.85 = 3.643 kW

答案

P_shaft = 3.643 kW

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