流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

3.连续性和伯努利中等

水管中的皮托静压管测得总压与静压之差为 9 kPa。求测头处的水流速度 v。

p₀ − p = 9 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

4.连续性和伯努利困难

一个水平文丘里流量计（入口 80 mm，喉部 40 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 270 mm。流量系数为 0.96。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmΔh = 270 mmC_d = 0.96ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 60 L/s 的流量流过一根长 100 m、内径 150 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 60 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 25 L/s？

Q = 25 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

一台效率为 75% 的水泵以 12 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 20 L/sH = 12 mη = 75%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 6 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 4（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 120 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.02ΣK = 4

H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 49.66 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·2.25 = 49.66 kN

答案

F = 49.66 kN

2.静水压力

答案: y_cp = 2.939 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.75·3.75 = 89.03 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·2.5³/12 = 1.953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.75 + 1.953/(2.75·3.75) = 2.939 m

答案

y_cp = 2.939 m

3.连续性和伯努利

答案: v = 4.243 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·9000/1000) = 4.243 m/s

答案

v = 4.243 m/s

4.连续性和伯努利

答案: Q = 10.18 L/s

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.27 = 33374 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 40/80 = 0.5

v₂ = √(2·33374/(1000·(1 − 0.0625))) = 8.438 m/s

实际流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.96·0.001257·8.438 = 0.01018 m³/s = 10.18 L/s

答案

Q = 10.18 L/s

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 9.793 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²

V = Q/A = 0.06/0.01767 = 3.395 m/s

速度水头

V²/(2g) = 3.395²/(2·9.81) = 0.5876 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(100/0.15)·3.395²/(2·9.81) = 9.793 m

答案

h_f = 9.793 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 2.084 m

速度

V = Q/A = 0.025/0.01767 = 1.415 m/s

V²/(2g) = 0.102 m

损失系数

f·L/D = 0.02·100/0.15 = 13.33

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1

总水头损失

h_f = 13.33·0.102 = 1.36 m

h_m = 7.1·0.102 = 0.7243 m

Δz = h_f + h_m = 2.084 m

答案

Δz = 2.084 m

7.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 3.139 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·12 = 2.354 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 2.354/0.75 = 3.139 kW

答案

P_shaft = 3.139 kW

8.水泵与泵功率

答案: H = 10.87 m

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 4)·0.3046 = 4.874 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 6 + 4.874 = 10.87 m

答案

H = 10.87 m

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