流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 0.5 mH = 2 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 3 mH = 2.5 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
12d1​ = 200 mm, p1​ = ?d2​ = 100 mm, p2​ = 220 kPa

水以 27 L/s 流过一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 100 mm。窄段的压强为 220 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p1。

Q = 27 L/sd1 = 200 mmd2 = 100 mmp2 = 220 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.连续性和伯努利困难
12d1​ = 100 mm, p1​ = 380 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 1 m

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 75 mm，同时升高 1 m。截面 1 处压强为 380 kPa，流速为 0.5 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 380 kPav1 = 0.5 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
Q = 50 L/sD = 250 mmL = 500 mf = 0.022

水以 50 L/s 的流量流过一根长 500 m、内径 250 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

Q = 50 L/sL = 500 mD = 250 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 0.2Δz = ?L = 100 m, D = 150 mm, f = 0.0254× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.025 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 30 L/s？

Q = 30 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Δz = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 80 L/sH = 78 m

在一次试验中，水泵以 78 m 的扬程输送 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 102 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 80 L/sH = 78 mPshaft = 102 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
250 kPa (表压)PQ = 25 L/sΔz = 5 mL = 150 m, D = 150 mm, f = 0.018, ΣK = 4

一台水泵把 25 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 5 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 4（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 250 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 25 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 4ptank = 250 kPa
H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
闸门d = 0.5 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.5·4 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN
2.静水压力

答案: F = 91.72 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
闸门d = 3 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·4.25·2.5 = 91.72 kN

答案

F = 91.72 kN
3.连续性和伯努利

答案: p1 = 225.5 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v1 = Q/A1 = 0.027/0.03142 = 0.8594 m/s
v2 = Q/A2 = 0.027/0.007854 = 3.438 m/s

伯努利方程

p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 220 + ½·1000·(3.438² − 0.8594²)/1000 = 220 + 5.54 = 225.5 kPa

答案

p1 = 225.5 kPa
4.连续性和伯努利

答案: p2 = 369.9 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(100/75)² = 0.8889 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 0.8889²)/1000 = −0.2701 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 380 + (−0.2701) − 9.81 = 369.9 kPa

答案

p2 = 369.9 kPa
5.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 2.327 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.25²/4 = 0.04909 m²
V = Q/A = 0.05/0.04909 = 1.019 m/s

速度水头

V²/(2g) = 1.019²/(2·9.81) = 0.05288 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(500/0.25)·1.019²/(2·9.81) = 2.327 m

答案

hf = 2.327 m
6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 2.874 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.03/0.01767 = 1.698 m/s
V²/(2g) = 0.1469 m

损失系数

f·L/D = 0.025·100/0.15 = 16.67
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.9

总水头损失

hf = 16.67·0.1469 = 2.448 m
hm = 2.9·0.1469 = 0.426 m
Δz = hf + hm = 2.874 m

答案

Δz = 2.874 m
7.水泵与泵功率

答案: η = 60.01 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·78 = 61.21 kW

效率

η = Ph/Pshaft = 61.21/102 = 60.01%

答案

η = 60.01%
8.水泵与泵功率

答案: H = 32.73 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.025/0.01767 = 1.415 m/s
V²/(2g) = 0.102 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 4)·0.102 = 2.244 m

压力水头

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9.81) = 25.48 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 25.48 + 2.244 = 32.73 m

答案

H = 32.73 m

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