流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 1.5 mH = 2 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 2.5 mH = 1 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 2.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
v = ?p0​pp0​ − p = 200 Pa驻点

风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 200 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。

p0 − p = 200 Paρ = 1.2 kg/m³
v = m/s
4.连续性和伯努利困难
d1​ = 200 mmd2​ = 100 mm12Δh = 60 mm水银Q = ?

一个水平文丘里流量计（入口 200 mm，喉部 100 mm）中流过的是水。接在入口与喉部之间的水银 U 形管压差计显示液面差为 60 mm。流量系数为 0.97。求流量 Q。水取 ρ = 1000 kg/m³，水银取 13 600 kg/m³，g = 9.81 m/s²。

d1 = 200 mmd2 = 100 mmΔh = 60 mmCd = 0.97ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管道摩擦与水头损失中等
Q = 10 L/sD = 150 mmL = 500 mf = 0.03

水以 10 L/s 的流量流过一根长 500 m、内径 150 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

Q = 10 L/sL = 500 mD = 150 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 5自由出流H = ?L = 200 m, D = 250 mm, f = 0.0154× 弯头 (K = 0.3)

一根长 200 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.015）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 75 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 75 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5
H = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 15 L/sH = 34 m

在一次试验中，水泵以 34 m 的扬程输送 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 6.1 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 15 L/sH = 34 mPshaft = 6.1 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
PQ = 50 L/sΔz = 11 mL = 600 m, D = 200 mm, f = 0.018, ΣK = 8

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 11 m 的上游水箱。管道长 600 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 65%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 50 L/sΔz = 11 mL = 600 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 8η = 65%
Pshaft = kW

3溶液

1.静水压力

答案: F = 49.05 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
闸门d = 1.5 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·2 = 49.05 kN

答案

F = 49.05 kN
2.静水压力

答案: ycp = 3.028 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
闸门d = 2.5 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·3·1.5 = 38.85 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 0.125/(3·1.5) = 3.028 m

答案

ycp = 3.028 m
3.连续性和伯努利

答案: v = 18.26 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p0 − p = ½ρv²
v = √(2·200/1.2) = 18.26 m/s

答案

v = 18.26 m/s
4.连续性和伯努利

答案: Q = 30.3 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

由压差计求压强差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.06 = 7416 Pa

喉部流速

连续性方程与伯努利方程联立给出理想喉部流速。

β = 100/200 = 0.5
v2 = √(2·7416/(1000·(1 − 0.0625))) = 3.978 m/s

实际流量

Q = Cd·A2·v2 = 0.97·0.007854·3.978 = 0.0303 m³/s = 30.3 L/s

答案

Q = 30.3 L/s
5.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 1.632 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²
V = Q/A = 0.01/0.01767 = 0.5659 m/s

速度水头

V²/(2g) = 0.5659²/(2·9.81) = 0.01632 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(500/0.15)·0.5659²/(2·9.81) = 1.632 m

答案

hf = 1.632 m
6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 2.344 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.075/0.04909 = 1.528 m/s
V²/(2g) = 0.119 m

损失系数

f·L/D = 0.015·200/0.25 = 12
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 = 6.7

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 12 + 6.7)·0.119 = 2.344 m

答案

H = 2.344 m
7.水泵与泵功率

答案: η = 82.02 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·34 = 5.003 kW

效率

η = Ph/Pshaft = 5.003/6.1 = 82.02%

答案

η = 82.02%
8.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 14.34 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s
V²/(2g) = 0.1291 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (54 + 8)·0.1291 = 8.004 m

泵扬程

H = Δz + hL = 11 + 8.004 = 19 m

轴功率

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·19/0.65 = 14.34 kW

答案

Pshaft = 14.34 kW

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