流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 0.5 mH = 1.5 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 4 mH = 2 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
Q = ?d = 50 mm, Cd​ = 0.61h = 1 m

水从一个大型敞口水箱经直径 50 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 1 m，流量系数为 0.61。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 50 mmh = 1 mCd = 0.61g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
H = ?d1​ = 75 mmp1​ = 130 kPad2​ = 30 mm

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 75 mm，表压为 130 kPa。喷嘴出口直径为 30 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d1 = 75 mmp1 = 130 kPa (表压)d2 = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.管道摩擦与水头损失中等
V = 0.8 m/sD = 300 mmL = 300 mf = 0.015

水以 0.8 m/s 的平均流速流过一根长 300 m、内径 300 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

V = 0.8 m/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 2自由出流H = ?L = 150 m, D = 200 mm, f = 0.023× 弯头 (K = 0.3)

一根长 150 m、内径 200 mm（达西摩擦系数 f = 0.02）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 60 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 60 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2
H = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 15 L/sH = 34 m

一台效率为 85% 的水泵以 34 m 的扬程输送 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 15 L/sH = 34 mη = 85%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.水泵与泵功率困难
400 kPa (表压)PQ = 50 L/sΔz = 13 mL = 200 m, D = 150 mm, f = 0.018, ΣK = 5

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 13 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 400 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 50 L/sΔz = 13 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 5ptank = 400 kPa
H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 36.79 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
闸门d = 0.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.25·3 = 36.79 kN

答案

F = 36.79 kN
2.静水压力

答案: F = 185.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·1.5 = 3 m²
闸门d = 4 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·5·3 = 185.4 kN

答案

F = 185.4 kN
3.连续性和伯努利

答案: Q = 5.305 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = Cd·A·√(2gh) = 0.61·0.001963·4.429 = 0.005305 m³/s = 5.305 L/s

答案

Q = 5.305 L/s
4.连续性和伯努利

答案: H = 13.6 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

出口流速

β = 30/75 = 0.4
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·130000/(1000·0.9744)) = 16.33 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v2²/(2g) = 16.33²/(2·9.81) = 13.6 m

答案

H = 13.6 m
5.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 0.4893 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 0.8²/(2·9.81) = 0.03262 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(300/0.3)·0.8²/(2·9.81) = 0.4893 m

答案

hf = 0.4893 m
6.管道摩擦与水头损失

答案: H = 3.607 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m

损失系数

f·L/D = 0.02·150/0.2 = 15
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 15 + 3.4)·0.1859 = 3.607 m

答案

H = 3.607 m
7.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 5.886 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·34 = 5.003 kW

轴功率

Pshaft = Ph/η = 5.003/0.85 = 5.886 kW

答案

Pshaft = 5.886 kW
8.水泵与泵功率

答案: H = 65.61 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 5)·0.408 = 11.83 m

压力水头

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9.81) = 40.77 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 13 + 40.77 + 11.83 = 65.61 m

答案

H = 65.61 m

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