流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 0.5 mH = 1 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 3 mH = 2.5 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 3 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
12d1​ = 200 mm, p1​ = ?d2​ = 100 mm, p2​ = 230 kPa

水以 29 L/s 流过一根水平管道，管径从 200 mm 缩小到 100 mm。窄段的压强为 230 kPa。忽略损失，求宽段的压强 p1。

Q = 29 L/sd1 = 200 mmd2 = 100 mmp2 = 230 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.连续性和伯努利困难
pair​ = 70 kPav = ?d = 20 mmh = 3.5 m

一个封闭水箱中水面上方是压缩空气，表压为 70 kPa。水从水面以下 3.5 m 处直径 20 mm 的孔口流入大气。忽略损失，求 射流速度 v。 取 g = 9.81 m/s²。

pair = 70 kPa (表压)h = 3.5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
v = m/s
5.管道摩擦与水头损失中等
V = 2.7 m/sD = 50 mmL = 300 mf = 0.018

水以 2.7 m/s 的平均流速流过一根长 300 m、内径 50 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

V = 2.7 m/sL = 300 mD = 50 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 10Δz = ?L = 100 m, D = 100 mm, f = 0.0223× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 100 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 10 L/s？

Q = 10 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 80 L/sH = 24 m

在一次试验中，水泵以 24 m 的扬程输送 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 26.2 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 80 L/sH = 24 mPshaft = 26.2 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
250 kPa (表压)PQ = 15 L/sΔz = 9 mL = 150 m, D = 100 mm, f = 0.02, ΣK = 8

一台水泵把 15 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 9 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 250 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 15 L/sΔz = 9 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.02ΣK = 8ptank = 250 kPa
H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 9.81 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
闸门d = 0.5 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1·1 = 9.81 kN

答案

F = 9.81 kN
2.静水压力

答案: ycp = 4.373 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
闸门d = 3 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·4.25·2.5 = 131.3 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4.25 + 1.302/(4.25·2.5) = 4.373 m

答案

ycp = 4.373 m
3.连续性和伯努利

答案: p1 = 236.4 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v1 = Q/A1 = 0.029/0.03142 = 0.9231 m/s
v2 = Q/A2 = 0.029/0.007854 = 3.692 m/s

伯努利方程

p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 230 + ½·1000·(3.692² − 0.9231²)/1000 = 230 + 6.391 = 236.4 kPa

答案

p1 = 236.4 kPa
4.连续性和伯努利

答案: v = 14.45 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

从液面到射流的伯努利方程

v = √(2·(70000/1000 + 9.81·3.5)) = 14.45 m/s

答案

v = 14.45 m/s
5.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 40.13 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2.7²/(2·9.81) = 0.3716 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(300/0.05)·2.7²/(2·9.81) = 40.13 m

答案

hf = 40.13 m
6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 2.842 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.01/0.007854 = 1.273 m/s
V²/(2g) = 0.08263 m

损失系数

f·L/D = 0.022·100/0.1 = 22
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4

总水头损失

hf = 22·0.08263 = 1.818 m
hm = 12.4·0.08263 = 1.025 m
Δz = hf + hm = 2.842 m

答案

Δz = 2.842 m
7.水泵与泵功率

答案: η = 71.89 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·24 = 18.84 kW

效率

η = Ph/Pshaft = 18.84/26.2 = 71.89%

答案

η = 71.89%
8.水泵与泵功率

答案: H = 41.55 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0.1859 = 7.065 m

压力水头

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9.81) = 25.48 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 9 + 25.48 + 7.065 = 41.55 m

答案

H = 41.55 m

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