流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 1.5 mH = 3 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 0.5 mH = 1 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 0.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
d1​ = 200 mmd2​ = 150 mm12p1​ − p2​ = 5 kPaQ = ?

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 200 mm，喉部直径 150 mm。入口处的压强比喉部高 5 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d1 = 200 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 5 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
H = ?d1​ = 75 mmp1​ = 150 kPad2​ = 20 mm

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 75 mm，表压为 150 kPa。喷嘴出口直径为 20 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d1 = 75 mmp1 = 150 kPa (表压)d2 = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.管道摩擦与水头损失中等
Q = 4 L/sD = 50 mmL = 100 mf = 0.015

水以 4 L/s 的流量流过一根长 100 m、内径 50 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

Q = 4 L/sL = 100 mD = 50 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 5Δz = 28 mL = 200 m, D = 250 mm, f = 0.0153× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 28 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 28 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
PQ = 60 L/sH = 18 m

一台水泵以 18 m 的扬程输送 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 72%，驱动它的电动机效率为 88%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。

Q = 60 L/sH = 18 mηpump = 72%ηmotor = 88%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
100 kPa (表压)PQ = 50 L/sΔz = 37 mL = 150 m, D = 150 mm, f = 0.02, ΣK = 6

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 37 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 100 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 50 L/sΔz = 37 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 6ptank = 100 kPa
H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 132.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
闸门d = 1.5 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·4.5 = 132.4 kN

答案

F = 132.4 kN
2.静水压力

答案: ycp = 1.083 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
闸门d = 0.5 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·1·3 = 37.08 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1 + 0.25/(1·3) = 1.083 m

答案

ycp = 1.083 m
3.连续性和伯努利

答案: Q = 67.59 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v1 = v2·(150/200)² = 0.5625·v2

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·5000/(1000·(1 − 0.3164))) = 3.825 m/s
v1 = 2.151 m/s

流量

Q = A2·v2 = 0.01767·3.825 = 0.06759 m³/s = 67.59 L/s

答案

Q = 67.59 L/s
4.连续性和伯努利

答案: H = 15.37 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

出口流速

β = 20/75 = 0.2667
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·150000/(1000·0.9949)) = 17.36 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v2²/(2g) = 17.36²/(2·9.81) = 15.37 m

答案

H = 15.37 m
5.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 6.346 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²
V = Q/A = 0.004/0.001963 = 2.037 m/s

速度水头

V²/(2g) = 2.037²/(2·9.81) = 0.2115 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(100/0.05)·2.037²/(2·9.81) = 6.346 m

答案

hf = 6.346 m
6.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 261.2 L/s

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

损失系数

f·L/D = 0.015·200/0.25 = 12
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

28 = (12 + 7.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·28/19.4) = 5.321 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 5.321·0.04909 = 0.2612 m³/s = 261.2 L/s

答案

Q = 261.2 L/s
7.水泵与泵功率

答案: Pel = 16.72 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·18 = 10.59 kW

轴功率

Pshaft = 10.59/0.72 = 14.72 kW

电功率

Pel = 14.72/0.88 = 16.72 kW

答案

Pel = 16.72 kW
8.水泵与泵功率

答案: H = 57.8 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 6)·0.408 = 10.61 m

压力水头

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9.81) = 10.19 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 37 + 10.19 + 10.61 = 57.8 m

答案

H = 57.8 m

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