静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 0.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 100 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。
p0 − p = 100 Paρ = 1.2 kg/m³
v = m/s
4.连续性和伯努利困难
一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 100 mm，表压为 60 kPa。喷嘴出口直径为 20 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。
d1 = 100 mmp1 = 60 kPa (表压)d2 = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.8 m/s 的速度流过一根长 1000 m、内径 50 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 1.8 m/sL = 1000 mD = 50 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 300 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 18 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 18 mL = 300 mD = 300 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
一台效率为 75% 的水泵以 80 m 的扬程输送 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 100 L/sH = 80 mη = 75%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 16 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 72%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 50 L/sΔz = 16 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.025ΣK = 5η = 72%
Pshaft = kW
3溶液
1.静水压力
答案: F = 128.8 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.75·7.5 = 128.8 kN
答案
F = 128.8 kN
2.静水压力
答案: ycp = 2.167 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2·6 = 120.7 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 2/(2·6) = 2.167 m
答案
ycp = 2.167 m
3.连续性和伯努利
答案: v = 12.91 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
到驻点的伯努利方程
流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·100/1.2) = 12.91 m/s
答案
v = 12.91 m/s
4.连续性和伯努利
答案: H = 6.126 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
出口流速
β = 20/100 = 0.2
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·60000/(1000·0.9984)) = 10.96 m/s
射流高度
沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。
H = v2²/(2g) = 10.96²/(2·9.81) = 6.126 m
答案
H = 6.126 m
5.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 583.2 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(1000/0.05)·1.8²/(2·9.81) = 59.45 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·59.45 = 583200 Pa = 583.2 kPa
答案
Δp = 583.2 kPa
6.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 232.3 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.02·300/0.3 = 20
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
18 = (20 + 12.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·18/32.7) = 3.286 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 3.286·0.07069 = 0.2323 m³/s = 232.3 L/s
答案
Q = 232.3 L/s
7.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 104.6 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·80 = 78.48 kW
轴功率
Pshaft = Ph/η = 78.48/0.75 = 104.6 kW
答案
Pshaft = 104.6 kW
8.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 21.56 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33.33 + 5)·0.408 = 15.64 m
泵扬程
H = Δz + hL = 16 + 15.64 = 31.64 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·31.64/0.72 = 21.56 kW
答案
Pshaft = 21.56 kW
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