流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 0.5 mH = 2 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 2 mH = 2.5 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 2 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
v = ?p0​pp0​ − p = 750 Pa驻点

风洞中的皮托静压管测得总压与静压之差为 750 Pa。空气密度为 1.2 kg/m³。求风速 v。

p0 − p = 750 Paρ = 1.2 kg/m³
v = m/s
4.连续性和伯努利困难
12d1​ = 100 mm, p1​ = 310 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 6 m

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 75 mm，同时升高 6 m。截面 1 处压强为 310 kPa，流速为 2 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 310 kPav1 = 2 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
V = 2.5 m/sD = 200 mmL = 300 mf = 0.018

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.5 m/s 的速度流过一根长 300 m、内径 200 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.5 m/sL = 300 mD = 200 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 5Δz = 14 mL = 150 m, D = 250 mm, f = 0.0223× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 14 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 14 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
PQ = 30 L/sH = 36 m

在一次试验中，水泵以 36 m 的扬程输送 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 17.7 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 30 L/sH = 36 mPshaft = 17.7 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
350 kPa (表压)PQ = 120 L/sΔz = 5 mL = 200 m, D = 250 mm, f = 0.015, ΣK = 3

一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 5 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 3（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 350 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 120 L/sΔz = 5 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 3ptank = 350 kPa
H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
闸门d = 0.5 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.5·4 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN
2.静水压力

答案: ycp = 3.41 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
闸门d = 2 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·3.25·3.75 = 122.5 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 1.5·2.5³/12 = 1.953 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.25 + 1.953/(3.25·3.75) = 3.41 m

答案

ycp = 3.41 m
3.连续性和伯努利

答案: v = 35.36 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

到驻点的伯努利方程

流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。

p0 − p = ½ρv²
v = √(2·750/1.2) = 35.36 m/s

答案

v = 35.36 m/s
4.连续性和伯努利

答案: p2 = 246.8 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(100/75)² = 3.556 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 3.556²)/1000 = −4.321 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 310 + (−4.321) − 58.86 = 246.8 kPa

答案

p2 = 246.8 kPa
5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 84.37 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(300/0.2)·2.5²/(2·9.81) = 8.601 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·8.601 = 84375 Pa = 84.37 kPa

答案

Δp = 84.37 kPa
6.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 179.2 L/s

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

损失系数

f·L/D = 0.022·150/0.25 = 13.2
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

14 = (13.2 + 7.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·14/20.6) = 3.652 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 3.652·0.04909 = 0.1792 m³/s = 179.2 L/s

答案

Q = 179.2 L/s
7.水泵与泵功率

答案: η = 59.86 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·36 = 10.59 kW

效率

η = Ph/Pshaft = 10.59/17.7 = 59.86%

答案

η = 59.86%
8.水泵与泵功率

答案: H = 45.25 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 3)·0.3046 = 4.569 m

压力水头

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9.81) = 35.68 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 35.68 + 4.569 = 45.25 m

答案

H = 45.25 m

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