流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 4 mH = 1 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 2.5 mH = 1.5 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.连续性和伯努利中等
Q = ?d = 40 mm, Cd​ = 0.64h = 4 m

水从一个大型敞口水箱经直径 40 mm 的锐缘孔口流出。水位保持在孔口以上 4 m，流量系数为 0.64。求流量 Q。取 g = 9.81 m/s²。

d = 40 mmh = 4 mCd = 0.64g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
C211.5 m4.5 md = 40 mmpC​ = ?

一根内径 40 mm 的软管从敞口水箱中虹吸取水。软管的最高点 C 高出水面 1.5 m，出口（通大气）低于水面 4.5 m。忽略损失，取 g = 9.81 m/s²。 求 C 点的绝对压强 pC。大气压为 101.3 kPa。

d = 40 mmzC = +1.5 mz2 = −4.5 mg = 9.81 m/s²patm = 101.3 kPa
pC = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
V = 1.9 m/sD = 200 mmL = 100 mf = 0.03

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.9 m/s 的速度流过一根长 100 m、内径 200 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1.9 m/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 10Δz = ?L = 150 m, D = 150 mm, f = 0.0154× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 20 L/s？

Q = 20 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
7.水泵与泵功率中等
PQ = 30 L/sH = 28 m

一台水泵以 28 m 的扬程输送 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 65%，驱动它的电动机效率为 88%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。

Q = 30 L/sH = 28 mηpump = 65%ηmotor = 88%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.水泵与泵功率困难
200 kPa (表压)PQ = 50 L/sΔz = 37 mL = 200 m, D = 150 mm, f = 0.015, ΣK = 8

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 37 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 200 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 50 L/sΔz = 37 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 8ptank = 200 kPa
H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 88.29 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
闸门d = 4 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.5·2 = 88.29 kN

答案

F = 88.29 kN
2.静水压力

答案: F = 63.13 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
闸门d = 2.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·3.25·2.25 = 63.13 kN

答案

F = 63.13 kN
3.连续性和伯努利

答案: Q = 7.125 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想射流速度

√(2gh) = √(2·9.81·4) = 8.859 m/s

实际流量

流量系数考虑了射流收缩和孔口边缘处的摩擦。

Q = Cd·A·√(2gh) = 0.64·0.001257·8.859 = 0.007125 m³/s = 7.125 L/s

答案

Q = 7.125 L/s
4.连续性和伯努利

答案: pC = 42.44 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

软管中的流速

液面和出口都通大气，所以压强项相互抵消。

v = √(2g·4.5) = √(2·9.81·4.5) = 9.396 m/s

从液面到 C 的伯努利方程

patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101.3 − 1000·(9.396²/2 + 9.81·1.5)/1000 = 101.3 − 58.86 = 42.44 kPa

答案

pC = 42.44 kPa

如果该压强降到水的饱和蒸汽压，虹吸就会停止工作。

5.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 27.07 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(100/0.2)·1.9²/(2·9.81) = 2.76 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·2.76 = 27075 Pa = 27.07 kPa

答案

Δp = 27.07 kPa
6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 1.808 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.02/0.01767 = 1.132 m/s
V²/(2g) = 0.06529 m

损失系数

f·L/D = 0.015·150/0.15 = 15
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7

总水头损失

hf = 15·0.06529 = 0.9793 m
hm = 12.7·0.06529 = 0.8291 m
Δz = hf + hm = 1.808 m

答案

Δz = 1.808 m
7.水泵与泵功率

答案: Pel = 14.41 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·28 = 8.24 kW

轴功率

Pshaft = 8.24/0.65 = 12.68 kW

电功率

Pel = 12.68/0.88 = 14.41 kW

答案

Pel = 14.41 kW
8.水泵与泵功率

答案: H = 68.81 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0.408 = 11.42 m

压力水头

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9.81) = 20.39 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 37 + 20.39 + 11.42 = 68.81 m

答案

H = 68.81 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics