静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
流体力学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
连续性和伯努利
- 连续性
- A1v1 = A2v2
- 伯努利方程
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 圆面积
- A = πd²/4
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2练习题
1.静水压力中等
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 1 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 4 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
水管中的皮托静压管测得总压与静压之差为 9 kPa。求测头处的水流速度 v。
p0 − p = 9 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
4.连续性和伯努利困难
一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 50 mm，表压为 40 kPa。喷嘴出口直径为 25 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。
d1 = 50 mmp1 = 40 kPa (表压)d2 = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.管道摩擦与水头损失中等
水以 6 L/s 的流量流过一根长 400 m、内径 75 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 6 L/sL = 400 mD = 75 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
一根长 200 m、内径 200 mm（达西摩擦系数 f = 0.015）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 40 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 40 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 2
H = m
7.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 78 m 的扬程输送 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 98.1 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 100 L/sH = 78 mPshaft = 98.1 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 7 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 50 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.02ΣK = 8
H = m
3溶液
1.静水压力
答案: F = 39.24 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·2 = 39.24 kN
答案
F = 39.24 kN
2.静水压力
答案: ycp = 5.349 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·5.25·2.5 = 113.3 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 5.25 + 1.302/(5.25·2.5) = 5.349 m
答案
ycp = 5.349 m
3.连续性和伯努利
答案: v = 4.243 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
到驻点的伯努利方程
流体在测头处静止，所以其动能表现为额外的压强。
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·9000/1000) = 4.243 m/s
答案
v = 4.243 m/s
4.连续性和伯努利
答案: H = 4.349 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
出口流速
β = 25/50 = 0.5
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·40000/(1000·0.9375)) = 9.238 m/s
射流高度
沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。
H = v2²/(2g) = 9.238²/(2·9.81) = 4.349 m
答案
H = 4.349 m
5.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 11.03 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²
V = Q/A = 0.006/0.004418 = 1.358 m/s
速度水头
V²/(2g) = 1.358²/(2·9.81) = 0.09401 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(400/0.075)·1.358²/(2·9.81) = 11.03 m
答案
hf = 11.03 m
6.管道摩擦与水头损失
答案: H = 1.628 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.04/0.03142 = 1.273 m/s
V²/(2g) = 0.08263 m
损失系数
f·L/D = 0.015·200/0.2 = 15
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 = 3.7
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 15 + 3.7)·0.08263 = 1.628 m
答案
H = 1.628 m
7.水泵与泵功率
答案: η = 78 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·78 = 76.52 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 76.52/98.1 = 78%
答案
η = 78%
8.水泵与泵功率
答案: H = 8.058 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.05/0.04909 = 1.019 m/s
V²/(2g) = 0.05288 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 8)·0.05288 = 1.058 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 7 + 1.058 = 8.058 m
答案
H = 8.058 m
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