流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

连续性和伯努利

连续性: A₁v₁ = A₂v₂
伯努利方程: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
圆面积: A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

2.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

3.连续性和伯努利中等

水流经一根水平管道，管径从 100 mm 缩小到 75 mm。宽段压强为 140 kPa，流速为 1.75 m/s。忽略损失，求窄段的压强 p₂。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 140 kPav₁ = 1.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.连续性和伯努利困难

一个喷泉喷嘴竖直向上。在喷嘴正下方，供水管直径为 75 mm，表压为 140 kPa。喷嘴出口直径为 20 mm，喷嘴前后的高度差可忽略。忽略损失和空气阻力，求射流高出喷嘴的高度 H。取 g = 9.81 m/s²。

d₁ = 75 mmp₁ = 140 kPa (表压)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

5.管道摩擦与水头损失中等

水以 80 L/s 的流量流过一根长 100 m、内径 200 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 80 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

6.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 300 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 150 L/s？

Q = 150 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Δz = m

7.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 42 m 的扬程输送 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 58.9 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 100 L/sH = 42 mP_shaft = 58.9 kWg = 9.81 m/s²

η = %

8.水泵与泵功率困难

一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 18 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 75 L/sΔz = 18 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 8

H = m

3溶液

1.静水压力

答案: F = 242.8 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.5·4.5 = 242.8 kN

答案

F = 242.8 kN

2.静水压力

答案: F = 64.75 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.5·3 = 64.75 kN

答案

F = 64.75 kN

3.连续性和伯努利

答案: p₂ = 136.7 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.75·(100/75)² = 3.111 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.75² − 3.111²)/1000 = −3.308 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 140 + (−3.308) = 136.7 kPa

答案

p₂ = 136.7 kPa

4.连续性和伯努利

答案: H = 14.34 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

出口流速

β = 20/75 = 0.2667

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·140000/(1000·0.9949)) = 16.78 m/s

射流高度

沿射流的伯努利方程：在最高点速度为零，压强又回到大气压。

H = v₂²/(2g) = 16.78²/(2·9.81) = 14.34 m

答案

H = 14.34 m

5.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 3.636 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.2²/4 = 0.03142 m²

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

速度水头

V²/(2g) = 2.546²/(2·9.81) = 0.3305 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(100/0.2)·2.546²/(2·9.81) = 3.636 m

答案

h_f = 3.636 m

6.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 3.971 m

速度

V = Q/A = 0.15/0.07069 = 2.122 m/s

V²/(2g) = 0.2295 m

损失系数

f·L/D = 0.015·300/0.3 = 15

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.3

总水头损失

h_f = 15·0.2295 = 3.443 m

h_m = 2.3·0.2295 = 0.5279 m

Δz = h_f + h_m = 3.971 m

答案

Δz = 3.971 m

7.水泵与泵功率

答案: η = 69.95 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·42 = 41.2 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 41.2/58.9 = 69.95%

答案

η = 69.95%

8.水泵与泵功率

答案: H = 25.12 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16.5 + 8)·0.2905 = 7.117 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 18 + 7.117 = 25.12 m

答案

H = 25.12 m

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