流体力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

连续性和伯努利

连续性
A1v1 = A2v2
伯努利方程
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
圆面积
A = πd²/4

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2练习题

1.静水压力中等
闸门d = 2 mH = 2 m

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水压力困难
闸门d = 2.5 mH = 2.5 m

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.连续性和伯努利中等
d1​ = 250 mmd2​ = 125 mm12p1​ − p2​ = 44 kPaQ = ?

水流过一个水平文丘里流量计，入口直径 250 mm，喉部直径 125 mm。入口处的压强比喉部高 44 kPa。忽略损失，求流量 Q。

d1 = 250 mmd2 = 125 mmp1 − p2 = 44 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.连续性和伯努利困难
12d1​ = 100 mm, p1​ = 110 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 3 m

水在一根管道中向上流动，管径从 100 mm 缩小到 75 mm，同时升高 3 m。截面 1 处压强为 110 kPa，流速为 2.25 m/s。忽略损失，求截面 2 处的压强 p2。

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 110 kPav1 = 2.25 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管道摩擦与水头损失中等
Q = 25 L/sD = 100 mmL = 1000 mf = 0.02

水以 25 L/s 的流量流过一根长 1000 m、内径 100 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.02，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

Q = 25 L/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管道摩擦与水头损失困难
K = 0.2Δz = 13 mL = 100 m, D = 300 mm, f = 0.0224× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 13 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 13 mL = 100 mD = 300 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.水泵与泵功率中等
PQ = 100 L/sH = 48 m

在一次试验中，水泵以 48 m 的扬程输送 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 65.4 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 100 L/sH = 48 mPshaft = 65.4 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.水泵与泵功率困难
PQ = 60 L/sΔz = 17 mL = 100 m, D = 200 mm, f = 0.02, ΣK = 8

一台水泵把 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 17 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 75%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。

Q = 60 L/sΔz = 17 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 8η = 75%
Pshaft = kW

3溶液

1.静水压力

答案: F = 88.29 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·1.5 = 3 m²
闸门d = 2 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·3 = 88.29 kN

答案

F = 88.29 kN
2.静水压力

答案: ycp = 3.889 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
闸门d = 2.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·3.75·2.5 = 94.27 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.75 + 1.302/(3.75·2.5) = 3.889 m

答案

ycp = 3.889 m
3.连续性和伯努利

答案: Q = 118.9 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

连续性

v1 = v2·(125/250)² = 0.25·v2

入口与喉部之间的伯努利方程

管道是水平的，所以只有压强和流速变化。

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·44000/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.688 m/s
v1 = 2.422 m/s

流量

Q = A2·v2 = 0.01227·9.688 = 0.1189 m³/s = 118.9 L/s

答案

Q = 118.9 L/s
4.连续性和伯努利

答案: p2 = 75.1 kPa

连续性方程和伯努利方程：对不可压缩流体，各截面流量相同，Q = A₁v₁ = A₂v₂。沿无损失的流线，p + ½ρv² + ρgz 为常数，所以流体越快或越高的地方压强越低。

连续性和伯努利

用 Pa 计算，再除以 1000 得到 kPa。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.25·(100/75)² = 4 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.25² − 4²)/1000 = −5.469 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 110 + (−5.469) − 29.43 = 75.1 kPa

答案

p2 = 75.1 kPa
5.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 103.3 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²
V = Q/A = 0.025/0.007854 = 3.183 m/s

速度水头

V²/(2g) = 3.183²/(2·9.81) = 0.5164 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(1000/0.1)·3.183²/(2·9.81) = 103.3 m

答案

hf = 103.3 m
6.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 352.9 L/s

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

损失系数

f·L/D = 0.022·100/0.3 = 7.333
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.9

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

13 = (7.333 + 2.9)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·13/10.23) = 4.992 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 4.992·0.07069 = 0.3529 m³/s = 352.9 L/s

答案

Q = 352.9 L/s
7.水泵与泵功率

答案: η = 72 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·48 = 47.09 kW

效率

η = Ph/Pshaft = 47.09/65.4 = 72%

答案

η = 72%
8.水泵与泵功率

答案: Pshaft = 15.97 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 8)·0.1859 = 3.346 m

泵扬程

H = Δz + hL = 17 + 3.346 = 20.35 m

轴功率

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.06·20.35/0.75 = 15.97 kW

答案

Pshaft = 15.97 kW

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